直接原因。
已知：S矩阵在角动量表象矩阵元为（fl?k?为Jost函数）4：
sl?k??exp?2i?l?k???fl??k?fl?k?,fl?k??fl?k?e?i?l?k? （A）
一般结论是，它在复平面k(E??2k22m)物理叶上半平面Imk?0(k有正虚部，对应推迟Green函数，出射球面波) 的极点对应束缚态；在非物理叶下半平面Imk?0(k有负虚部，对应超前Green函数，入射球面波) 的极点可以满意地解释作为共振 5。于是令
Er?pr22m?ER?i? (B) 2附带指出此处取复值的物理含义：这时对应准定态波函数时间因子为
exp??iEt???exp??iERt??exp???t2?? (C)
因此，波函数模平方给出所有的概率都按exp???t??规律随时间衰减。特别是，发现入射弹丸留在这个准稳定系统之内的概率是按这个规律随时间衰减的。在靠近共振点处，可将相移分解为背景相移和共振相移两部分
fl?E???dfldE?E?E?Er?;r?l?E???arg?dfldE?E?arg?E?Er???l,backg??l,reson; （D）
r?l,reson??arg?E?Ereson?低能共振?backg很小 6，由靠近ER的实轴点E?矢量Ereson的幅角得 7 ：
sin?l?sin?l,reson??2?E?ER????2?22 (E)
4
J.R.Taylor, 散射理论, 科学出版社，1987，p.204，p.231。 5
同上，p.271。 6
同上，p.281。 7
同上，p.273，277，p.272-276。
6
由此，分波截面为
4??2l?1?2??2? (F) ?l?E??sin?E???l222k?E?ER????2?2(F)式就是著名的Breit-Wigner公式。对于低能散射，共振区内粒子de Broglie波波长远大于散射系统尺寸，只有s分波（l?0）散射是重要的。
由（D--F）式得到一个简单的总结性结论：从本质上说，共振不是由于极点附近振幅数值大，而是由sl?k?相位的迅速变化所引起。
共振散射中的时间滞后问题。对于吸引势，出射分波位相被拉向散射中心，?0?0。但它们随入射能量增加而减少。于是，对s散射分波，其滞后时间的量级为
?reson?1d?0a? (G) v0dkv0与此同时，设靶尺寸为b，势散射的时间延迟是?poten?bv0。于是，准束缚态导致共振散射时，应当有
?reson??poten (H)
III，全同雾状原子Bose-Einstein凝聚
i，凝聚温度的估算之一 8
定义：转变温度（又称凝聚温度）TC为开始出现Bose-Einstein凝聚体的最高温度。它的量级可如下估计：对于自由粒子的均匀气体，相关物理量只有三个：粒子质量m，密度?和Planck常数h?2??。由m,?,?构造出能量的唯一方式是?2?23m。于是，除以Boltzmann
8
C.J.Pethick,et al., B-E Condensation in Dilute Gases, Cambridge Univ. Press, 2002, p.4。
7
常数k，就得到凝聚温度的量级为
?2?23TC?C mkC为常系数，近似为3.3（脚标8文献，p.22）。例如，对于适当密度
的饱和蒸气压下的液4He，由此公式估出的转变温度为3.13K。
ii，凝聚温度的估算之二
a，物理概念。其实，气体这种从近独立自由分散状态向凝聚
状态的变化是一种相变。其物理根源是：粒子热运动的动量随温度降低而减少，相应的de Broglie波波长增大。加之，不确定性关系表明，空间分布的不确定性也增大。于是粒子波动性将逐渐增大，相邻粒子间波函数的相干叠加逐渐增强。正是它们，形成着和改变着“空间相干性”，或者说，产生了粒子间的“量子纠缠”和改变着“纠缠模式”。这就是导致物态的各种相变的基本原因，空间相干性质不同（如何短程相干或怎样长程相干）对应的相态将会不同。
换一种语言表达这个思想。注意到，Fermi气体有几个特征长度：Fermi波数kF、气体中自由程l、热de Broglie波波长?T、粒子间相互作用力程L、低能散射散射长度a。考虑到气体相变是由于空间相干性出现的观点，于是相变将和这几个特征长度的关系有关。比如，
1考虑到全同Fermion气体的Fermi波数kF??13~l?1、再注意到，??T，
由低能散射的Ramsauer效应，散射过程完全由单一参数，即散射长度a所表征（见上下文）。于是当kFa?1，即散射长度变得大于粒子间的间距，并依次大大于原子间相互作用力程L时，也就是，相互作用很强但力程很短的稀薄超冷气体，将会出现这种与相互作用势的细
8
节无关，而只与原子de Broglie波波动性有关的、带有一定普适形式的相变。实验和理论都表明，这种气体是足够稳定的 9。
b，热de Broglie波长?T与转变温度TC的计算。 设体积V中含N个全同粒子，E?p22m，?为化学势。有
dVd3pdNd3p4?p2dp2??2m?dN???3??33hdVhhh332EdE,?pdp?mdE?
代入Bose-Einstein分布，并作积分。有下面等式，
Nex???dNe?E???kT0?1??V?EdE32? 2?2m??3??E???kT?0?he?1这里已经取能量零点为单粒子最低能级。积分只对处于激发态的原子进行，也即，下限处排除处于基态原子数Nex?N?N0。化学势?不可能为正值，因为那样一来对一些低能级的概率分额会是负值。如果全部粒子均未参与B-E凝聚，处于基态的原子数目自然为零，于是负值函数??T?随温度的变化将始终保证积分值等于原子总数N。
对于已出现凝聚体的极低温度，Nex数值与温度有关。当温度下降至转变温度T?TC时，??T????TC?由负值趋近于零10。这时引入无量
9
但是，在临界温度以下，是在结成Cooper对的BCS区域里，还是在整体BEC的区域里显示超流性呢？对于BCS--BEC转型的多体问题研究，目前还没有定论的解析理论。常用的方法是标准的平均场近似。此段叙述参见脚注1文献 ④中p.1227-1228。 10
对全同Fermion体系，“T?0时化学势?等于Fermi能” 导致，对理想Fermion气体（下面设每个态上只许占据一个粒子；若为电子，因为容许两个态，括号内系数应为3?）：
2?223kF,free??6????,EF,free???6?????kBTF,free
2m2m而对于三维谐振子势阱中的全同Fermion气体，“T?0时化学势?等于Fermi能”导致：
232?E22????3?dE?EE2???geo??dE3geo?????????N?????E?0????EF,haN?0exp??E????10exp?E?14?? ????2132?2kF,freeEF,ha?kBTF,ha??6N????geo,
13?geo???x?y?z?139
纲变数EkTC?x，用粒子总数N等式，有 11：
?V?xdx32?2?2mkT?N,??C3?x?0?he?1??0xdx??2.612ex?1232??N?2.612V?2?mkTC?h332?2?mkTC??2.612??h2???2.612
??TC?3在TC附近，可按此处表示，引入热de Broglie波长?T。于是有
???T???2.612,3T2??2 ?T?mkT由此，另一个将转变温度TC和粒子密度?关联起来的等价方法是：在理想气体中，只当温度如此之低，以致热de Broglie波长?T不小于粒子间平均间距??13?l，即?T???13时，才会发生Bose-Einstein凝聚。
对碱金属原子，对应以前1013cm3到最近?1014?1015?cm3的密度，转变温度从100nK到几?K。对于氢原子，因质量较轻，转变温度较高。显然，高温下?T很小，气体的行为是经典的。
c，凝聚体的份额。利用?0发态的粒子总数为：
Nex?C????x??1dxx?????????，可得处于激e?10E??1?dEEkT?C??????????kT? e?1注意，这个分额并不依赖于粒子总数N。代入TC的表达式，即得
?T?Nex?N?? ?TC??于是，处于基态形成凝聚体的原子份额为：
11
推导所涉及的积分是下面一般形式积分的特例:
?
?0?x??1dxx?????????,??????n???Riemannzetafunction e?1n?110