??T???N0?N?1???? T???C???对于三维箱归一的粒子，??32。于是
?ex?2.612??TC?3??T?32?;N0?N?1????
T???C???而对于三维谐振子势中的粒子，??3。于是凝聚体份额等于：
??T?3?N0?N?1????
T???C???当然，此时TC表达式也要用相应于??3的值 12。
二，超冷全同原子凝聚体Feshbach共振（I）
I，低能Feshbach共振理论13，14
为方便对照，第二、三两节公式编号与脚注14文献相同。这里注意分辨：入射原子和靶原子的连续入射道——P道，双原子分子准束缚态的封闭道——M道。为此引入投影算符：P——由Hilbert空
M——由Hilbert空间向封闭道子空间投影，间向入射道子空间投影；
P2?P,M2?M,MP?PM?0，P?M?I (8)
利用投影算符P,M，可以将此双原子系统Schrodinger方程全部散射定态解分拆为
???E?HPP?P??HPMM?E?H??0? (9，10，11) ??????E?HMM?M??HMPP?这里HPM?PHM,HMP?MHP,HPP?PHP,HMM?MHM。于是，由第二个方程解得向准束缚分子Hilbert子空间的投影
12
同脚注8文献，p.20-24。 13
最初是在核物理的中子散射研究里提出的：H. Feshbach, Ann.Phys. 19, 287(1962)。 14
E.Timmermans et al., Feshbach resonances in atomic Bose-Einstein condensates, Physics Reports, 315(1999)199-230。第二，第三两节公式编号就是此文献的公式编号。
11
M???E?HMM?HMPP?
?1再将此方程代入第一个方程，得到
?E?HPP?P??HPM?E?HMM?HMPP??1? E?HeffP??0????1H?H?HE?HHMP???PPPMMM?eff??这里Heff表达式显示，它对碰撞粒子的能量有很强的依赖。
更直接地是从方程?E?HPP?P??HPMM?出发，引入出射波传播子（Green函数算符）G?p???E?：
G?p???1?E???E?HPP?i?? (14)
???记齐次方程解为?E?HPP?P?P则Lippmann-Schwinger方程为： ?0，
P????p???G?p???E?HPMM? (15)
这里，散射态渐近边条件??p??选作入射P道和出射球面波的叠加态，
??limr?P?exp??ikr?r?Sexp?ikr?r
?r??此处按(6)式最低阶s0?exp?2i?0?。将(15) 式代入M?的方程
?E?HMM?M??HMPP?，得
?HMP??p???E?HMM?M??HMPG?p???E?HPMM? (16)
最后，由此方程得出M?的形式解，
M??1E?HMM?HMPGp????E?HPMHMP??p?? (17)
再将此式代入P?的Lippmann-Schwinger方程，得到
P????p???G?p???E?HPM1E?HMM?HMPGp????E?HPMHMP??p?? (18)
P?对核间距离r的渐近依赖为表征低能碰撞的S矩阵提供了
Feshbach共振。
12
II，Feshbach共振宽度
实验上观察到，低能Feshbach共振是很窄的，各个峰在频率上彼此都很好地分开。靠近单个峰m（特定的转-振动量子数的中间分子态?m），可以简化上面表达式：将算符替换为单能级的谱表示，
1E?HMM?HMPG?p???E?HPM??m1?m (19)
E?Em?i?m2注意，一般说，算符HMPG?p???E?HPM不厄米，所以虚部不为零。显然，
????E?Re?H?HGmMMMPp?E?HPM?m?m (20) ???????m2??Im?mHMPGp?E?HPM?m此外，由于这些共振峰的连续态和分子态之间的耦合足够弱，使我们可以根据微扰论精神按分子势的本征态来计算?m，而Em则近似是其本征值。
特别地，对于实验观察共振峰来说，峰宽度的低能依赖关系是很重要的。下面详细地计算它。将?m2公式中的出射波传播子G?p???E?在连续态?k,?k?中展开，并且利用公式
??????fk,mfk,m2i?fk,m1???1 ??;?x?lim????0??22222?E?Ek?i?E?Ek?i??2?E?Ek?????x?????????????于是得到
?2???Hk?2mMP???m2??Im?????Hk??E?Ek? (21) ??mMPk?kE?Ek?i?????注意，此处中间连续态k用的是箱归一的渐近散射态?k（和脚注3
文献（p.450-451）用平面波态不同）。设?是双原子系统所占据的宏观体积，于是在坐标空间中（注意按（4）式）
13
??kr???expik?r??fexp?ikr?r???k?r???1????s?waverk???exp?i?0?uN?r? (22)
???在分子相互作用区内，在所感兴趣的超低温能量下下，矩阵元
?mHMP??k主要涉及连续态k中的s波成分。况且，低能s波的uN?r??基本上不依赖于入射能量。使得?mHMPk不但不依赖于k的方向，而且也不依赖于它的数值。于是有
?mHMP??????3k??dr?mHMPrrkexp?i?0?exp?i?0????d3r?m?r?HMPuN?r??? (23)
这里???d3r?m?r?HMPuN?r?，积分变数r是两个原子核之间相对距离。最终，共振峰宽度正比于?2，以及相空间因子?k??E?Ek??：
?m?E?1?M?22??????E?Ek????k?kE? ?2???2??kkEk??222??k?kE这里??E?Ek?????2M?2M2?M??k?kE?（已丢弃负根）。在?内??2?kE?p?p?dp区间中有两个原子，于是按相空间密度表达式，有
?4?p2dp?4??3k2dk?k2dk1k2dk2?dN????? 3322h32??4??2????m?E???2M?24?2?2kE?2MkE??k?kE?kdk???k?kE?dk ?2??4??k2?M???m?E???2?k2?E2?????M? (24，25) or?m?E??2?k,???2?2?4????这里?是约化宽度，与k无关。注意，宽度?m?E?通过相空间因子依
?2k2赖于碰撞粒子能量E?。这个特征对超冷原子系统Feshbach共
2M振十分重要。现在虽然相互作用耦合常数保持不变，但原子相对速度消失将导致k?0??m?E??0。相应地，相移也线性地随k消失。但
14
是下面将看到，有效散射长度将趋向于很确定的有限数值。
III，Feshbach共振的散射矩阵
现在计算连续散射态P?，
1??????????P????GEH??H???PPPMmmMPP?E?Em?i?m2 （26） ??????P?r??exp??ikr?r?exp?2i?0?exp?ikr?r?在低能区?0??ka，a是散射长度。何况，由前面（6）式
????P?r???2ikexp?i?0?uN?r?，uN?r?是Schrodinger方程的正规解，在
分子势区域外有uN?r??1?ra。
???为了计算P?态坐标波函数的渐近形式，需要用传播子GP?E?中s分波成分的渐近表达式。按脚注2文献p.277(10.13)式，
?(r,s1,s2)?eikz?i????14?e2m??????????： V(r,s,s)?(r,s,s)dr??1212?r?r??2??ikr?r????由此，低能散射GP： ?E?的s分波渐近式为（m?reducedmassM2）
?M?exp?ikr?????GP??????E;r,ruN?r?? (27) ?2???Sr?4???其实也可以不借助此公式。为理论上说得更为清楚，下面直接计算：
???d3k???1?????3rGP?E?HPM?m??dr?r?E?HPP?i??k?k?r?r?HPM?m3?2???????2??2m?4?k?dk?rk?k?r???3 ??dr??2??r?HPM?m3220??k?k?i??2???????????2??m?4?k?dk?rk?k?r???3??dr??2??r?HPM?m322???2??k?k??i??????这个围道积分计算很简单（脚注3文献第451页）。所以接着等下去：
15