??????rkkr????m4?32??dr??2k?2?i?r?HPM?m3??2k????2???????????ims?wave3??????dr?k?rk?kr??r?HPM?m2ss?2??? ???iexp?ikr???im??3???dr??k??expi?ur?????r?HPM?m0N22??kr????Mexp?ikr??3??????expi?drurH?r?????0?NPMm24??r于是
Mexp?ikr?????rGP?E?HPM?m??exp?i?0??4??2r (28)
???d3r?m?r?HMPuN?r?注意径向波函数uN?r?,?m?r?均为实函数，又有
????mHMP?P??2ikexp?i?0??d3r?m?r?HMPuN?r???2ikexp?i?0??druN?r?HPM?m?r???2ikexp?i?0??3
?????M?2exp?ikr????rGP?E?HPM?m?mHMP?P?iexp?2i?0???k2?4??r?? (29)
exp?ikr??iexp?2i?0??m?E?r于是将（26）式P?向r投影，最终得到散射态的径向渐近表达式：
??exp??ikr?i?m?E?exp?ikr?rP????1?exp2i?（30） ???0rE?E?i?E2r??mm??认出此式方括号与S矩阵的关联，得到（?0??ka）
???m?E?S?exp??2ika??1?i? （31）
E?Em?i?m?E?2??注意，S矩阵是厄米的S?1，因为不存在有损失的散射道。 结果是用有效散射长度S?exp??2iaeffk?,aeff?a?a?。即
??E?Em?i?m?E?2?m?E?exp??2ika????1?i （32） ??E?Em?i?m?E?2?E?Em?i?m?E?2?
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aeff?a??m21 （33） tan?1k?E?Em?在凝聚体的合适超低能极限下，E、Em?0，E?Em???，?可正可负，是分子束缚态能量对P道连续态能量之差，是Feshbach共振的失谐度（detuning）。在这种极限下，可将上式按k值的最低阶展开，注意?m?2?k，得
limaeff?E??a?E?0?m112?k??a??a? （34）
2k?E?Em?2k???对于相互作用比较弱的多体系统，用散射长度a描述，不如用相互作用强度描述更为方便。假如粒子间散射能够用Born近似，则“散射振幅f??,??将正比于粒子间相互作用势Vhf?r,s1,s2?中相应的Fourier分量”。而参数?就代表粒子间相互作用势的Fourier变换的零动量成分。即（见脚注2文献，p.278(10.15b)式、p.285(10.30) 式），
??M??????iq?r???f(?,?)fi?e?|Vr,s,s|?dr?q?0?????f12i4??2? MM????a??|V?r?,s1,s2?|?idr???4??2?f4??2???于是，?和散射长度a的关系是（?量纲是能量E乘体积V）
???4??2M?a
然而，Born近似不能用来描述低能双原子碰撞。这时，相互作用强度仍旧正比于散射长度，虽然后者必须更精确地由整个势散射问题来确定。按同样精神，可以引入一个等效强度?eff??4??2M?aeff来描述低能双原子碰撞，于是
?eff??4??2M??a?????????2?? （35）
此处用了约化宽度表达式???2?M4??2?。
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IV，磁可控，超精细诱导Feshbach共振
通过研究可变外磁场下双原子相互作用行为，在每个实验中都观察到了“低能Feshbach共振”。双原子相互作用中的共振行为是由超精细相互作用所引起。这种超精细相互作用翻转了两个碰撞原子之一的电子和原子核的自旋。从而将两个价电子自旋平行的双原子碰撞体系从连续的P道（开道）转入自旋反平行的M道（闭道）。当两个价电子的自旋反平行时，它们空间波函数的对称性使它们“彼此不回避”（与此相对照，空间波函数反对称使它们“彼此刻意回避”）。这使静电相互作用势能提高。于是，外磁场升高了自旋翻转成反平行原子系统的连续能级，从而将道M封闭，原子彼此囚禁（还可见后面叙述）。如果这时正好有一个束缚态能级在附近（有一个正或负的能级差?），碰撞原子就暂时以束缚态处于自旋反平行的势阱中，组成一个准束缚的分子状态m（共振体resonate）。这样一直等到超精细相互作用再次诱导这对原子，使它们自旋变成平行。就是说，第二次自旋翻转后，自旋平行的双原子体系看到的是较低的势阱，势垒消失，彼此分开没有问题，准分子拆开，使体系返回初始P道。假如??0，即中间准束缚分子的能量等于P道的连续能级，上面所描述的碰撞过程就处于共振中。改变外磁场实际移动了M分子的和P道双原子的能量，于是就调谐或失谐，也即使原子相互作用靠近或远离共振。准分子的寿命，也就是原子在势阱中所处的时间等于自旋两次相继翻转的时间间隔。显然，它应当很大于两个碰撞原子直接穿过彼此势场的时间。
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为了说明Feshbach共振形成而涉及的两个不
同散射道的势能曲线图。Eth是进入道的阈能
?p2?H0???Hinter?1??Hinter?2???Eth??????????????
?2mr?而Eres是一个（准束缚的）闭道态的能量 15
作为一个很好的说明，首先讨论并非是现在实验情况的强外磁场极限
????下的碰撞。外磁场B?Bz，电子自旋s，原子核自旋i。为确定起见，113?m??,m??考虑超冷原子23Na?，有自旋投影。两个这样的i?is???2?22原子相互作用由电子平行耦合时的位势所描述。在三重态（P道）上，两个原子中的两个价电子，它们空间行为就像是两个不可区分的Fermions“相互回避”，于是一般说就降低了电子间Coulomb斥力。相反，假如碰撞原子的自旋被按排在单重态（M道）上，价电子的空间行为“并不相互回避”，于是和三重态位势相比，Coulomb斥力会抬高原子间van de Waals势的曲线。就是说，这时分子内两原子相互作用的“剩余Coulomb势”——van de Waals势的势阱和势垒曲线抬高。所以，M道的连续谱比入射P道的连续谱高（注意，是谱高，
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C.J.Pethick,et al., B-E Condensation in Dilute Gases, Cambridge Univ. Press, 2002, p.133。
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不是态具有的能量高。态能量不变）。
???因此，原子间的相互作用依赖于总电子自旋S?s1?s2的量子数
S。从自旋量子数为
1的三重态P道，因超精细作用而翻转为自旋量
子数为零的单重态M道，翻转后与翻转前相互作用之差为
???Cs13???????1?s2s?0??3C4Cs1?s2??s?s?1??????????Cs1?s22?2???Cs1?s2s?1?C4s?0s?1??C?0
此自旋相互作用内能是减少的。由于超精细作用是内部的，而且很小，假如不存在外场，体系总能量将基本不变。于是，翻转后两个电子自旋相互作用内能的减少转化为它们空间电荷排斥能的增加。
如果有外磁场，整个过程将是：两原子体系从有自旋、有外磁场取向能的P道，转化为无总自旋、无外磁场取向能的准分子M道，再转化为有自旋、有外磁场取向能的P道。后面（M?P）转换过程中附加能增加??B?。于是不?2?e??N??（?e是电子磁矩，?N是核磁矩）能按M?P直接演化过去。换个说法，处于M道的两个原子所看到的连续谱要比P道时看到的连续谱高出?，于是不能直接彼此分离。所以，自旋平行耦合的三重态是开道（P道）；自旋反平行耦合的单态，由于（已设定的入射）能量小于势垒，对散射而言是闭道（M道）。只当内部演化使自旋再次平行，双原子体系才能再次回到P道。
这时，双原子体系的初始自旋态为
Sin?ms??12111111,mi???ms??,mi???,?222222?0,011??,?22eeiiii?1,0?11??,?ee22?1,0ii11??,?ee22
其中当两电子处于自旋单态0,0ee时，两原子不能超越势垒，不发生
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