第四编 三角函数、解三角形
§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、选择题(每小题7分，共42分)
1．(2009·汕头模拟)若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为( ) A．2kπ＋β (k∈Z) B．2kπ－β (k∈Z) C．kπ＋β (k∈Z) D．kπ－β (k∈Z)
解析 因为角α和角β的终边关于x轴对称，所以α＋β＝2kπ (k∈Z)．所以α＝2kπ－β (k∈Z)． 答案 B 2．(2010·湛江调研)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第几象限( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ?tan α<0解析 ∵P(tan α，cos α)在第三象限，∴?， ?cos α<0由tan α<0，得α在第二、四象限， 由cos α<0，得α在第二、三象限 ∴α在第二象限． 答案 B 3．(2010·漳州调研)若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的 面积为 ( )
1212A.2 B.2 C.2 D.2 sin1sin2cos1cos2
1111
解析 由题意得扇形的半径为.又由扇形面积公式得，该扇形的面积为·2·2＝2.
sin 12sin1sin1
答案 A
4
4．(2009·衢州模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为
5
( )
1133A．－ B. C．－ D. 2222
解析 r＝64m2＋9，
－8m4
∴cos α＝＝－，∴m>0，
564m2＋94m2111
∴＝，∴m＝±.∵m>0，∴m＝. 22264m＋925
答案 B
ααα
5．(2010·新乡模拟)已知角α是第二象限角，且|cos |＝－cos ，则角是( )
222
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
α
解析 由α是第二象限角知，是第一或第三象限角．
2
ααα
cos ?＝－cos ，∴cos <0， 又∵?2??22α
∴是第三象限角． 2
答案 C
3
6．(2009·湘潭联考)已知α是第一象限角，tan α＝，则sin α等于 ( )
4
4343A. B. C．－ D．－ 5555
sin α3??cos α＝4，3
解析 由?，得sin α＝(sin α>0)．
5
??sin2α＋cos2α＝1
答案 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
m7．(2009·惠州模拟)若点P(m，n) (n≠0)为角600°终边上一点，则＝________. n解析 由三角函数的定义知 n
＝tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan 60°＝3， m
m13∴＝＝. n333答案 38．(2009·洛阳第一次月考)已知P在1秒钟内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点，则θ＝________. 解析 ∵0°<θ<180°且 k·360°＋180°<2θ 9．(2010·濮阳模拟)若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值等于 cos α1－sin2α ________． 1－cos2αsin α|sin α|sin α 解析 ＋＝＋， cos α|cos α|cos α1－sin2α ∵角α的终边落在直线y＝－x上， ∴角α是第二或第四象限角． sin α|sin α|sin αsin α 当α是第二象限角时，＋＝＋＝0， |cos α|cos α－cos αcos αsin α|sin α|sin α－sin α 当α是第四象限角时，＋＝＋＝0. |cos α|cos αcos αcos α 答案 0 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·平顶山联考)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a≠0)，角β终边上 的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值． 解 由题意得，点P的坐标为(a，－2a)， 点Q的坐标为(2a，a)． －2a－2a sin α＝2＝， 5a2a＋(－2a)2aa cos α＝2＝2， 25aa＋(－2a) －2atan α＝＝－2， aaa sin β＝＝， 5a2(2a)2＋a22a2a cos β＝＝， 5a2(2a)2＋a2a1 tan β＝＝， 2a2故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β －2aaa2a1＝·＋·＋(－2)×＝－1. 25a25a25a25a2θsin211．(13分)(2009·南平调研)设θ为第三象限角，试判断的符号． θcos2解 ∵θ为第三象限角， 3π∴2kπ＋π<θ<2kπ＋ (k∈Z)， 2πθ3πkπ＋< 此时在第二象限． 2θθ∴sin>0，cos<0. 22θsin2 因此<0. θcos2 当k＝2n＋1(n∈Z)时， πθ3π (2n＋1)π＋<<(2n＋1)π＋(n∈Z)， 2243πθ7π 即2nπ＋<<2nπ＋(n∈Z) 224θ 此时在第四象限． 2 θsin2θθ ∴sin<0，cos>0，因此<0， 22θ cos2 θ2 综上可知<0. θcos2 sin tan α 12．(14分)(2010·茂名联考)已知＝－1，求下列各式的值： tan α－1 sin α－3cos α(1)； sin α＋cos α (2)sin2α＋sin αcos α＋2. 1 解 由已知得tan α＝. 2 sin α－3cos αtan α－3(1)＝ sin α＋cos αtan α＋11－325＝＝－. 13＋12 (2)sin2α＋sin αcos α＋2 ＝sin2α＋sin αcos α＋2(cos2α＋sin2α) 3sin2α＋sin αcos α＋2cos2α＝ sin2α＋cos2α 3tan2α＋tan α＋2＝ tan2α＋11213×()＋＋22213＝＝. 125()＋12 §4.2 三角函数的诱导公式 2. 2 3D. 2 ( ) 一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·全国Ⅰ文，1)sin 585°的值为 22A．－ B. 22C．－3 2解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－ 答案 A 2．(2010·郑州模拟)若α、β终边关于y轴对称，则下列等式成立的是 ( ) A．sin α＝sin β B．cos α＝cos β C．tan α＝tan β D．sin α＝－sin β 解析 方法一 ∵α、β终边关于y轴对称， ∴α＋β＝π＋2kπ或α＋β＝－π＋2kπ，k∈Z， ∴α＝2kπ＋π－β或α＝2kπ－π－β，k∈Z， ∴sin α＝sin β. 方法二 设角α终边上一点P(x，y)，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且点P y 与点P′到原点的距离相等设为r，则sin α＝sin β＝. r 答案 A 3．(2009·重庆文，6)下列关系式中正确的是 ( ) A．sin 11° ∴f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β) ＝asin α＋bcos β＝－3. 答案 C 3πsin α＋cos α4，2π?，则5．(2009·湛江三模)已知sin(2π－α)＝，α∈?等于 ( ) ?2?5sin α－cos α11A. B．－ C．－7 D．7 7744解析 sin(2π－α)＝－sin α＝，∴sin α＝－. 553π3，2π?，∴cos α＝. 又α∈??2?5sin α＋cos α1∴＝. sin α－cos α7答案 A 5π?1ππ＋α＝，且－π<α<－，则cos?－α?等于 ( ) 6．(2009·东莞模拟)已知cos??12?3?12?2231122A. B. C．－ D．－ 3333 ππ5π－α?＝cos?－?12＋α?? 解析 cos????12??2?5π?＝sin??12＋α?. π75ππ 又－π<α<－，∴－π<＋α<－， 2121212522π＋α?＝－∴sin?， ?12?3π22－α?＝－∴cos?. ?12?3 答案 D 二、填空题(每小题6分，共18分) 35π －?的值是________． 7．(2009·常德三模)cos??3?35π35π?12π－π? －?＝cos 解析 cos?＝cos3??3??3