π1＝cos ＝.
321答案
2
3π8
π，?，则tan α＝________. 8．(2010·合肥联考)已知cos(π－α)＝，α∈?2??17
88
解析 cos(π－α)＝－cos α＝，∴cos α＝－.
1717
3π
π，?，∴sin α<0. 又α∈?2??
15
∴sin α＝－1－cos2α＝－. 17
sin α15
∴tan α＝＝.
cos α815答案
8
9．(2009·烟台模拟)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则
33
－α－π?cos?π－α?sin?2??2??2
·tan(π－α)＝________.
ππ????cos?2－α?sin?2＋α?
3
解析 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2， 534由α是第三象限角，∴sin α＝－，cos α＝－， 5533－α－π?cos?π－α?sin?2??2??2∴·tan(π－α) ππ???cos??2－α?sin?2＋α?π?π＋α?－α?·sin?cos?2??2?2＝·tanα sin α·cos αcos α·(－sin α)2＝·tanα sin α·cos αsin2α92＝－tanα＝－2＝－. cosα169答案 － 16三、解答题(共40分) cos(π＋θ)1
10．(13分)(2010·揭阳联考)已知sin(3π＋θ)＝，求＋
3cos θ[cos(π－θ)－1]
cos(θ－2π)
的值．
3π?3π???sin?θ－2?cos(θ－π)－sin?2＋θ?
11
解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，∴sin θ＝－，
33
－cos θcos(2π－θ)
∴原式＝＋
3πcos θ(－cos θ－1)?－sin??2－θ?cos(π－θ)＋cos θ
1cos θ＝＋ 1＋cos θ－cos2θ＋cos θ
112＝＋＝ 1＋cos θ1－cos θ1－cos2θ
＝
22
＝18. 2＝sinθ?1?2
?－3?
2?π
<α<π?.求下列各式的值：
?3?2
11．(13分)(2010·菏泽模拟)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝(1)sin α－cos α；
π?π
－α＋cos3?＋α?. (2)sin3??2??2?解 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝得sin α＋cos α＝2
.① 3
2， 3
2
将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝，
9
7
故2sin α·cos α＝－，
9
π
又<α<π，∴sin α>0，cos α<0. 2
∴sin α－cos α>0.
716－?＝， (1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－??9?9
4∴sin α－cos α＝. 3π?π－α＋cos3?＋α?＝cos3α－sin3α (2)sin3??2??2?＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos α·sin α＋sin2α) 4722－?×?1－?＝－. ＝??3??18?27ππ12．(14分)(2009·丽水联考)是否存在角α，β，其中α∈(－，)，β∈(0，π)，使得等式sin(3π
22
π－α)＝2cos(－β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若
2不存在，请说明理由． 解 假设满足题设要求的α，β存在，则α，β满足 ?sin α＝2sin β ① ?
?3cos α＝2cos β ②①2＋②2，得sin2α＋3(1－sin2α)＝2， 12
即sin2α＝，sin α＝±.
22ππππ∵－<α<，∴α＝或α＝－.
2244
π3
(1)当α＝时，由②得cos β＝，
42
π
∵0<β<π，∴β＝.
6π3π
(2)当α＝－时，由②得cos β＝，β＝，但不适合①式，故舍去．
426
ππ
综上可知，存在α＝，β＝使两个等式同时成立．
46
§4.3 三角函数的图象与性质
一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·福建理，1)函数f(x)＝sin xcos x的最小值是
11
A．－1 B．－ C.
221
解析 ∵f(x)＝sin xcos x＝sin 2x.
2
π1
∴当x＝kπ－，k∈Z时，f(x)min＝－. 42
答案 B
( )
D．1
4π?
2．(2009·全国Ⅰ理，8)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点??3，0?中心对称，那么|φ|的最 小值为
πA. 6
πD. 2
( )
πB. 4
πC. 3
4π?48π
，0中心对称知，f?π?＝0，即3cos?＋φ?＝ 解析 由y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点??3??3??3?8πππ8π
0.∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝kπ＋－(k∈Z)．
3223
π8ππ2π＋－?＝. |φ|的最小值为?23?6?答案 A
πx3．(2010·枣庄调研)已知函数y＝sin 在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最
3小值是 ( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析 T=6，则∴t≥
5T≤t， 415， 2∴tmin=8. 答案 C
4．(2010·嘉兴模拟)已知在函数f(x)＝3sin πx图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点 R恰好在x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4
222
解析 ∵x＋y＝R，∴x∈[－R，R]． ∵函数f(x)的最小正周期为2R，
R?∴最大值点为??2，3?，
R
－，－3?， 相邻的最小值点为??2?
代入圆方程，得R＝2，∴T＝4. 答案 D
5．(2009·浙江理，8)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是
`( )
解析 图A中函数的最大值小于2，故0
2π?
①函数y＝cos??3x＋2?是奇函数；
3
②存在实数α，使得sin α＋cos α＝；
2③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α 2x＋?的一条对称轴方程； ④x＝是函数y＝sin?4??8 ππ2x＋?的图象关于点?，0?成中心对称图形． ⑤函数y＝sin?3???12?其中正确的序号为 ( ) A．①③ B．②④ C．①④ D．④⑤ 2xπ?2＋?y＝－sinx是奇函数； 解析 ①y＝cos??32?3πα＋?的最大值为2， ②由sin α＋cos α＝2sin??4?33因为2<，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝； 22③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°， 但tan 45°>tan(30°＋360°)，即tan α 轴； πππ 2x＋?＝sin＝1， ⑤把x＝代入y＝sin?3??122 ππ ，0?不是函数y＝sin?2x＋?的对称中心． 所以点?3??12?? 综上所述，只有①④正确． 答案 C 二、填空题(每小题6分，共18分) 11 7．(2010·株州调研)函数y＝lg(sin x)＋cos x－的定义域为________________，函数y＝ 22 π2?sin??4－3x?的单调递增区间为______________． sin x>0??解析 ①要使函数有意义必须有?， 1 cos x－≥0??2sin x>02kπ 即?(k∈Z)， 1，解得?ππ cos x≥－＋2kπ≤x≤＋2kπ???23?3π ∴2kπ 3 ? π?? ∴函数的定义域为?x|2kπ ? π2?2π11 －x得y＝－sin?x－?， ②由y＝sin?2?43?2?34?π2π3 由＋2kπ≤x－≤π＋2kπ， 2342921π 得π＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z， 88 故函数的单调递增区间为 ?9π＋3kπ，21π＋3kπ? (k∈Z)． 8?8?π2kπ，＋2kπ? (k∈Z) 答案 ?3???9π＋3kπ，21π＋3kπ? (k∈Z) 8?8?πππππ ωx＋? (ω>0)，f??＝f??，且f(x)在区间?，?上有最 8．(2008·辽宁理，16)已知f(x)＝sin?3???6??3??63?小值，无最大值，则ω＝________. 解析 如图所示， ?f(x)?sin(?x?且f()?f()， π), 3π3ππ又f(x)在区间(,)内只有最小值、无最大值， 63ππ?π∴f(x)在x=63?处取得最小值． 24πππ∴???2kπ?(k∈Z)． 43210∴ω=8k- (k∈Z)． 31014?; ∵ω>0，∴当k=1时，ω=8-33103814?当k=2时，ω=16，此时在区间??内存在最大值．故ω=. 33314答案 3 π6