∴f(x)=2sin(2x?π)+1的对称轴方程为 6x?π1?kπ，k∈Z. 62π
11．(13分)(2009·合肥联考)函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象如图所示．
2
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
π
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，求直线y＝6与函数y＝
4
f(x)＋g(x)的图象在(0，π)内所有交点的坐标．
2π
解 (1)由题图知A＝2，T＝π，于是ω＝＝2，
T
π
将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，
12
得y＝2sin(2x＋φ)的图象．
πππ
2x＋?. 于是φ＝2×＝，∴f(x)＝2sin?6??126
ππx－?＋? (2)依题意得g(x)＝2sin?2???4?6?π2x＋?. ＝－2cos?6??
ππ2x＋?－2cos?2x＋? 故y＝f(x)＋g(x)＝2sin?6?6???π2x－?. ＝22sin?12??
ππ32x－?＝6，得sin?2x－?＝. 由22sin?12?12?2??πππ∵0 12．(14分)(2009·金华模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的 2 一部分如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； 2 －6，－?时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值． (2)当x∈?3?? 解 (1)由图象知A＝2，T＝8， 2ππ∵T＝＝8，∴ω＝. ω4 π －＋φ?＝0. 又图象过点(－1,0)，∴2sin??4? ππ ∵|φ|<，∴φ＝. 24 ππ?∴f(x)＝2sin??4x＋4?. (2)y＝f(x)＋f(x＋2) ππ?πππx＋＋2sin?x＋＋? ＝2sin??44??424?ππ?πx＋＝22cos x. ＝22sin??42?4 23πππ －6，－?，∴－≤x≤－. ∵x∈?3??246ππ2 ∴当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6； 463π 当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22. 4 §4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切 ( ) 一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·青岛模拟)sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为 3113 A．－ B．－ C. D. 2222 解析 原式＝sin 45°·cos 15°－cos 45°·sin 15° 1＝sin 30°＝. 2答案 C 52．(2009·岳阳调研)已知sin(45°＋α)＝，则sin 2α等于 54334A．－ B．－ C. D. 5555 25解析 sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·＝， 2510 ∴sin α＋cos α＝. 5 23 两边平方，得1＋sin 2α＝.∴sin 2α＝－. 55 答案 B ππ5π3 －α?＝，则sin2?α－?－cos?＋α?的值是 3．(2010·阳江一模)已知cos??6?3?6??6? 2＋32＋3A. B．－ 332－3－2＋3C. D. 33 π5π α－?－cos?＋α? 解析 sin2??6??6? ( ) ( ) ππ2＋3－α?＋cos?－α?＝＝1－cos2?. ?6??6?3 答案 A ?α＋π?，1?，?α＋4π? 4．(2009·济宁模拟)已知向量a＝?sinb＝(4,4cos α－3)，若a⊥b，则sin3???6??? 等于 A．－ 1 B．－ 4π α＋?＋4cos α－3 解析 a·b＝4sin??6?3 4 3 C. 4 1 D. 4 ( ) π α＋?－3＝0， ＝23sin α＋6cos α－3＝43sin??3?π1α＋?＝. ∴sin??3?4 4ππ1α＋?＝－sin?α＋?＝－. ∴sin?3???3?4答案 B π2π1 －α?＝，则cos?＋2α?的值是 5．(2010·舟山一模)已知sin? ( ) ?6?3?3? 7117A．－ B．－ C. D. 93392ππ＋2α?＝－cos?－2α? 解析 cos??3??3??π－α??＝－?1－2sin2?π－α??＝－7. ＝－cos?2??6????6??9答案 A 26．(2009·哈尔滨期末)在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B＝3，则tan Atan B的值为( ) 31115A. B. C. D. 4323解析 tan(A＋B)＝－tan C＝－tan 120°＝3， tan A＋tan B∴tan(A＋B)＝＝3， 1－tan Atan B2331即＝3，解得tan Atan B＝. 31－tan Atan B答案 B 二、填空题(每小题6分，共18分) sin α＋cos α 7．(2010·长春一模)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________. sin α－cos α sin α＋cos αtan α＋1 解析 ∵＝＝3，∴tan α＝2. sin α－cos αtan α－1 又tan(α－β)＝2，故tan(β－α)＝－2. ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] tan(β－α)－tan α4＝＝. 1＋tan(β－α)·tan α3 4答案 3 3－sin 70° 8．(2009·宁波模拟)＝________. 2－cos210° 3－sin 70°3－sin 70° ＝ 2－cos210°1＋cos 20° 2－ 2 2(3－sin 70°)2(3－cos 20°)＝＝＝2. 3－cos 20°3－cos 20°答案 2 3π?3，π，sin(α＋β)＝－， 9．(2009·铜陵模拟)已知α，β∈??4?5 π12π β－?＝，则cos?α＋?＝________. sin??4?13?4?3π?3ππ3，π，∴π<α＋β<2π，<β－<π， 解析 ∵α、β∈??4?22444π5 ∴cos(α＋β)＝，cos(β－)＝－， 5413ππα＋?＝cos?(α＋β)－?β－?? ∴cos??4???4?? ππβ－?＋sin(α＋β)sin?β－? ＝cos(α＋β)cos??4??4?5312456－?＋?－?×＝－. ＝×?5?13??5?136556 答案 － 65三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·珠海模拟)化简： π?π－x＋6cos?－x?； (1)2sin??4??4?22cosα－1(2). π2?π???2tan?4－α?sin?4＋α?π13?π－x?? 解 (1)原式＝22?sin?－x?＋·cos?4???2?4?2π?πππ－x＋coscos?－x?? ＝22?sin6sin??4?6?4???ππ?＝22cos??6－4＋x? πx－?. ＝22cos??12?cos 2α(2)原式＝ 1－tan α?π ＋2α??1－cos?2????1＋tan α cos 2α ＝＝1. cos 2α (1＋sin 2α) 1＋sin 2α π? 11．(13分)(2009·烟台三模)已知函数f(x)＝2sin2??4＋x?－3cos 2x. (1)求f(x)的周期和单调递增区间； ππ? (2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈??4，2?上有解，求实数m的取值范围． π? 解 (1)f(x)＝2sin2??4＋x?－3cos 2x π?＝1－cos??2＋2x?－3cos 2x ＝1＋sin 2x－3cos 2x 解析 π 2x－?＋1， ＝2sin?3?? πππ 周期T＝π；令2kπ－≤2x－≤2kπ＋， 232 π5π kπ－，kπ＋?(k∈Z)． 解得单调递增区间为?1212?? ππ?ππ2π，，所以2x－∈?，?， (2)x∈??42?3?63?π1 2x－?∈?，1?， sin?3??2?? 所以f(x)的值域为[2,3]． 而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]． 12．(14分)(2009·宁德期末)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 3π?α∈??2，2π?，且a⊥b. (1)求tan α的值； απ?(2)求cos??2＋3?的值． 解 (1)∵a⊥b，∴a·b＝0. 而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0. 41解之，得tan α＝－，或tan α＝. 323π?∵α∈??2，2π?，tan α<0， 1故tan α＝(舍去)． 24∴tan α＝－. 33πα3π，2π?，∴∈?，π?. (2)∵α∈??2??2?44α1α由tan α＝－，求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)． 3222α5α25∴sin ＝，cos ＝－， 2525απ?απαπ＋＝cos cos －sin sin cos??23?23232515325＋15＝－×－×＝－. 525210