π
2x＋?(x∈R)，有下列命题： 9．(2010·绍兴月考)关于函数f(x)＝4sin?3??
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
π2x－?； ②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos?6??
π
－，0?对称； ③y＝f(x)的图象关于点??6?
π
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
6
其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
πT2x＋?的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是解析 函数f(x)＝4sin?3??2
π
＝知①错． 2
ππ
2x＋?? 利用诱导公式得f(x)＝4cos?2－?3????
ππ
－2x?＝4cos?2x－?，知②正确． ＝4cos?6??6??
π由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入得f(x)＝ 6πππ
－?＋?＝4sin 0＝0，因此点?－，0?是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正4sin?2×??6???6?3?确．
π
曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点
6
?－π，0?不是最高点也不是最低点，故直线x＝－π不是图象的对称轴，因此命题④不正?6?6确．
答案 ②③ 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·怀化模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋φ) (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是
π直线x＝. 8(1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调增区间． ππ解 (1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z， 82π51∴φ＝kπ＋，又－π<φ<0，则－ ∴k＝－1，则φ＝－. 4 3π2x－?， (2)由(1)得：f(x)＝sin?4?? π3ππ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 242π5π 可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 88 π5π ＋kπ，＋kπ?，k∈Z. 因此y＝f(x)的单调增区间为?8?8? 11．(13分)(2008·天津文，17)已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋1 (x∈R，ω>0)的最小 π 正周期是. 2 (1)求ω的值； (2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合． 1＋cos 2ωx 解 (1)f(x)＝2＋sin 2ωx＋1 2 ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2 ππ sin 2ωxcos＋cos 2ωxsin?＋2 ＝2?44?? π 2ωx＋?＋2. ＝2sin?4?? π2ππ 由题设，函数f(x)的最小正周期是，可得＝， 22ω2 所以ω＝2. π 4x＋?＋2. (2)由(1)知，f(x)＝2sin?4?? πππkπ 当4x＋＝＋2kπ，即x＝＋(k∈Z)时， 42162π 4x＋?取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是 sin?4?? πkπ?? 2＋2，此时x的集合为?x|x＝16＋2，k∈Z?. ??12．(14分)(2009·肇庆模拟)设函数f(x)＝cos ωx(3sin ωx＋cos ωx)，其中0<ω<2. ππ(1)若f(x)的周期为π，求当－≤x≤时f(x)的值域； 63π(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝，求ω的值． 3311解 f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋ 222π12ωx＋?＋. ＝sin?6?2? (1)因为T＝π，所以ω＝1. π12x＋?＋， ∴f(x)＝sin?6?2?π5ππππ－，?， 当－≤x≤时，2x＋∈?636?66?30，?. 所以f(x)的值域为??2?π(2)因为f(x)的图象的一条对称轴为x＝， 3 π?ππ 所以2ω?＋＝kπ＋(k∈Z)， ?3?62 31 ω＝k＋ (k∈Z)， 22 1 又0<ω<2，所以－ 31 所以k＝0，ω＝. 2 §4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 一、选择题(每小题7分，共42分) π 1．(2009·山东文，3)将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得 4 图象的函数解析式是 ( ) 22 A．y＝2cosx B．y＝2sinx π C．y＝1＋sin(2x＋) D．y＝cos 2x 4 ππ 解析 将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin2(x＋)，即y＝sin(2x 44 π ＋)＝cos 2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos 2x＝22cos2x. 答案 A π 2x＋?的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2．(2010·泉州模拟)将函数y＝sin?4?? π2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是 ( ) 4A．f(x)＝sin x B．f(x)＝cos x C．f(x)＝sin 4x D．f(x)＝cos 4x ππx＋?→y＝sin?x＋? 解析 y＝sin??4??4?ππx－＋?＝sin x. →y＝sin??44?答案 A π 3．(2010·莱芜一模)若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为， 2 π 直线x＝是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( ) 3 π?2x＋π?＋2 4x＋? A．y＝4sin? B．y＝2sin6?3???π?4x＋π?＋2 4x＋?＋2 C．y＝2sin? D．y＝2sin3?6????A＋m＝4，?A＝2，?? 解析 ∵? ∴? ??－A＋m＝0，m＝2.??π2π ∵T＝，∴ω＝＝4.∴y＝2sin(4x＋φ)＋2. 2T ππ 4×＋φ?＝±∵x＝是其对称轴，∴sin??3?1. 3 4ππ ∴＋φ＝＋kπ (k∈Z)． 32 5ππ ∴φ＝kπ－ (k∈Z)．当k＝1时，φ＝. 66 答案 D ππ ωx＋?(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函4．(2009·全国Ⅱ文，9)若将函数y＝tan?4??6 π ωx＋?的图象重合，则ω的最小值为 数y＝tan? ( ) 6?? 111B. C. D. 432ππ ωx＋?向右平移后得到 解析 函数y＝tan?4??6ππωππππωππ x－?＋?＝tan?ωx－＋?.又因为y＝tan?ωx＋?，∴令－＝＋kπ，解析y＝tan?ω?64?6?????6?4?466 πωπ1∴＝＋kπ(k∈Z)，由ω>0得ω的最小值为. 1262答案 D 5．(2009·杭州一模)电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0,0<φ<则当t= 1A. 6 π)的图象如右图所示， 2 ( ) 1秒时，电流强度是 100 B．5安 C．53安 D．10安 T411 解析 由图象知A＝10，＝－＝， 2300300100 2π ∴ω＝＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)． T ?1，10?为五点中的第二个点，∴100π×1＋φ＝π. ?300?3002 ππ 100πt＋?， ∴φ＝.∴I＝10sin?6??6 1 当t＝秒时，I＝－5安． 100答案 A π6．(2009·天津理，7)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函 4数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象 ( ) πA．向左平移个单位长度 8πB．向右平移个单位长度 8πC．向左平移个单位长度 4πD．向右平移个单位长度 4π2π 2x＋?， 解析 因为T＝π，则ω＝＝2，f(x)＝sin?4??T ππππ x＋?＋?＝sin?2x＋?＝ g(x)＝cos 2x，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度时，y＝sin?2?2??8??8?4? cos 2x. 答案 A 二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2009·江苏，4)函数y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ为常数， A>0，ω>0)在闭区间[-π，0]上的图象如图所示，则ω= . 解析 由函数y=Asin(ωx+φ)的图象可知： A．－5安 Tπ2π2?(?)?(?π)?,?T?π. 23333 ?T?2π??2π,???3. 3答案 3 8．(2008·全国Ⅱ改编)若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M、N 两点，则|MN|的最大值为________． 解析 设x＝a与f(x)＝sin x的交点为M(a，y1)， x＝a与g(x)＝cos x的交点为N(a，y2)， 则|MN|＝|y1－y2|＝|sin a－cos a| ?a－π??≤2. ＝2?sin??4?? 答案 2 2π2π －，?上单调递增，则ω的最大值为 9．(2009·云浮期末)若函数f(x)＝2sin ωx (ω>0)在??33?________． ?TT?,?上递增， 44???2π2π??TT?故??,????,?, ?33??44?T2π33即≥.∴ω≤.∴ωmax=. 3444T答案 4解析 ∵f(x)在??三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·周口调研)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+ b (ω>0，|φ|<π)的图象的一部分如图所示： 2(1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程． 解 (1)由图象可知，函数的最大值M=3， 最小值m=-1，则A=又T?2(π?3?(?1)3?1?2,b??1,， 222?)?π， 362π2π??2，∴f(x)=2sin(2x+φ)+1， ∴??Tπππ将x=，y=3代入上式，得(??)?1， 63ππ∴????2kπ，k∈Z， 32ππ即φ=+2kπ，k∈Z，∴φ=， 66π∴f(x)=2sin(2x?)+1. 6πππ1(2)由2x+=+kπ，得x=+kπ，k∈Z， 6262