§4.6 正弦定理和余弦定理
一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·汕头模拟)△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
22
解析 ∵2b＝a＋c，∴4b＝(a＋c)， 又∵b2＝ac，∴(a－c)2＝0.∴a＝c. ∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c. 答案 D 2．(2009·清远期末)△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos 2B＋3cos(A＋ C)＋2＝0，b＝3，则c∶sin C等于 ( ) A．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D．2∶1
1解析 cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝2cos2B－3cos B＋1＝0，∴cos B＝或cos B＝1(舍)．∴B
2π＝. 3cb3∴＝＝＝2. sin Csin B32答案 D 3．(2010·滨州模拟)△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于( )
33A. B. 24333C.或3 D.或 224133解析 ＝，∴sin C＝. sin 30°sin C2∵0° S△ABC＝×3×1×sin 30°＝. 24 答案 D 5 4．(2008·四川文，7)△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝b，A＝ 2 2B，则cos B等于 ( ) 5555A. B. C. D. 3456 asin A 解析 由正弦定理得＝， bsin B 5sin A5 ∴a＝b可化为＝. 2sin B2 sin 2B55 又A＝2B，∴＝，∴cos B＝. sin B24 答案 B 5．(2008·福建理，10)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B ＝3ac，则角B的值为 ( ) πππ5ππ2πA. B. C.或 D.或 636633解析 ∵(a2＋c2－b2)tan B＝3ac， a2＋c2－b23∴·tan B＝， 2ac2 3 即cos B·tan B＝sin B＝. 2 π2π ∵0 答案 D 6．(2010·湖州一模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2－bc＝a2， a 且＝3，则角C的值为 ( ) bA．45° B．60° C．90° D．120° 222222 解析 由b＋c－bc＝a，得b＋c－a＝bc， b2＋c2－a21 ∴cos A＝＝，∴A＝60°. 2bc2 asin A又＝3，∴＝3， bsin B3331∴sin B＝sin A＝×＝， 3322∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°. 答案 C 二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2009·上海春招)在△ABC中，若AB＝3，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，则BC＝________. 解析 根据三角形内角和定理知 ∠BAC＝180°－75°－60°＝45°. BCAB根据正弦定理得＝， sin∠BACsin∠ACB23×2BC33sin 45°即＝，∴BC＝＝＝6. sin 45°sin 60°sin 60°32答案 6 8．(2009·泰安调研)在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________． a2＋b2－c222 解析 cos C＝＝，∴sin C＝. 2ab22 11 ∴S△ABC＝absin C＝a×AD.∴AD＝3. 22 答案 3 1 9．(2010·中山一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b2 4 ＋c2－a2)，则∠A＝________. 111 解析 S＝(b2＋c2－a2)＝(2bccos A)＝bccos A， 4421 又S△ABC＝bcsin A，∴sin A＝cos A， 2 π 即tan A＝1.又A为△ABC的内角，∴A＝. 4 π答案 4 三、解答题(共40分) bcos C1＋cos 2C 10．(13分)(2009·淮南调研)在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状． ccos B1＋cos 2B 1＋cos 2C2cos2Ccos2Cbcos C 解 由已知＝， 2＝2＝1＋cos 2B2cosBcosBccos B cos Cb所以＝. cos Bc 方法一 利用正弦定理边化角． bsin Bcos Csin B 由正弦定理，得＝，所以＝， csin Ccos Bsin C 即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B. 因为B、C均为△ABC的内角， 所以2C＝2B或2C＋2B＝180°， 所以B＝C或B＋C＝90°， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． a2＋b2－c2 2abb 方法二 由余弦定理，得222＝， a＋c－bc2ac即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)， 所以a2c2－c4＝a2b2－b4， 即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0， 所以a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0， 即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0， 所以b2＝c2或a2－b2－c2＝0， 即b＝c或a2＝b2＋c2. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 11．(13分)(2010·芜湖模拟)在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设a、b、c c1满足条件b2＋c2－bc＝a2和＝＋3，求角A和tan B的值． b2b2＋c2－a21222解 由b＋c－bc＝a，得＝， 2bc21π即cos A＝，又0 c1sin C1又＝＋3，＝＋3， b2sin B2 2π C＝π－A－B＝－B， 3 2π1 －B?＝?＋3?sin B， ∴sin??3??2?311 整理得cos B＋sin B＝sin B＋3sin B. 22211∴cos B＝sin B，则tan B＝. 2212．(14分)(2010·广东五校联考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a A＋B7 ＋b＝5，c＝7，且4sin2－cos 2C＝. 22 (1)求角C的大小； (2)求△ABC的面积． 解 (1)∵A＋B＋C＝180°， A＋B7 由4sin2－cos 2C＝， 22C7 得4cos2－cos 2C＝， 221＋cos C7∴4·－(2cos2C－1)＝， 22 1 整理，得4cos2C－4cos C＋1＝0，解得cos C＝， 2 ∵0° 22 (2)由余弦定理得c＝a＋b2－2abcos C， 即7＝a2＋b2－ab，∴7＝(a＋b)2－3ab， 由条件a＋b＝5，得7＝25－3ab，ab＝6， 11333 ∴S△ABC＝absin C＝×6×＝. 2222 §4.7 正弦定理、余弦定理应用举例 一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·佛山模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为 ( ) 400400200200A. m B.3 m C.3 m D. m 3333解析 作出示意图如图， 由已知：在Rt△OAC中， OA=200，∠OAC=30°， 则OC=OA·tan∠OAC 2003. 32003在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°， 32002003则BD=AD·tan∠BAD=·tan 30°=， 33200400∴BC=CD-BD=200-=. 33=200tan 30°=答案 A 2．(2010·池州模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一 条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°， 则这艘船的速度是每小时 ( ) A．5海里 B．53海里 C．10海里 D．103海里 解析 如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10， 在Rt△ABC中，得AB＝5， 5 于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)． 0.5 答案 C 3．(2009·六安期末)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站 C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔 B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( ) A．a km B.3a km C.2a km D．2a km 解析 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2 1 －?＝3a2，∴AB＝3a. ＋BC2－2AC·BCcos 120°＝2a2－2a2×??2?答案 B 4．(2009·黄山第一次月考)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75° 距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 ( ) 176A.海里/小时 B．346海里/小时 2172C.海里/小时 D．342海里/小时 2 PMMN 解析 如图所示，在△PMN中，＝， sin 45°sin 120°68×3MN17∴MN＝＝346，∴v＝＝6(海里/小时)． 422答案 A 5．(2009·汕尾联考)如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北 偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行 30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( ) A．20(2+6)海里/小时 B．20(6-2)海里/小时 C．20(6+3)海里/小时 D．20(6-3)海里/小时 解析 由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°， ∴∠MSN=30°，∴ MN20. ?sin30?sin105?∴MN=??=10(??-??)． 10(6－2) ∴货轮航行的速度v＝＝20(6－2)海里/小时． 12 答案 B 6．(2010·滁州调研)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____ h后，两车的距离最小． ( ) 6970A. B．1 C. D．2 4343 解析 如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行 驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问