幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）
第一章、函数的有关概念
1．函数的概念： y=f(x)，x∈A．自变量x;定义域A；函数值y，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2．值域 : 先考虑其定义域 4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 5．映射
A、B集合，对应法则f， A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）” 对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 增函数上升，减函数下降. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取x1，x2∈D，且x1 2 作差f(x1)－f(x2)； ○ (C)复合函数的单调性 其规律：“同增异减” 注意:不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数 都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○ 2确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则○ f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意：定义域关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称， (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 （1）要求两个变量之间的函数关系时，一是对应法则，二是定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10．函数最大（小）值（定义见课本p36页） 1（配方法） ○ 2 利用图象 ○ 3 利用函数单调性 ○ 题目练习： 1.求下列函数的定义域： ?y?x?12x2?2x?15 ?y?1?() x?1x?3?32.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _ 3.若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是 ?x?2(x??1)4.函数f(x)??x2(?1?x?2) ，若f(x)?3，则x= ??2x(x?2)?5.求下列函数的值域： ?y?x2?2x?3 (x?R) ?y?x2?2x?3 x?[1,2] (3)y?x?1?2x (4)y??x2?4x?5 6.已知函数f(x?1)?x2?4x，求函数f(x)，f(2x?1)的解析式 7.已知函数f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4，则f(x)= 。 8.设f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时,f(x)?x(1?3x),则当x?(??,0)时f(x)= f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： ? y?x2?2x?3 ?y??x2?2x?3 ? y?x2?6x?1 10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论． 11.设函数f(x)?1?x判断它的奇偶性并且求证：f(1)??f(x)． 1?x2x 2 高中数学专题三 函数 （定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数） 第二章 基本初等函数 一、指数函数 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： a?nam(a?0,m,n?N*,n?1)a?mnmn， ?1amn?1nam(a?0,m,n?N*,n?1) ? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 rr?sra?aa（1）2 (a?0,r,s?R)； rsrs(a)?a（2） (a?0,r,s?R)； rrs(ab)?aa （3） (a?0,r,s?R)． （二）指数函数及其性质 x1、指数函数的概念：函数的定义域为R． y?a(a?0,且a?1)， 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 0 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1； 2 ax?N?logaN?x； ○ 两个重要对数： a1 常用对数：以10为底的对数； lgN○ 2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○ （二）对数的运算性质 如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： 1 loga(M2N)?logaM＋logaN； ○ logNM?logaM－logaN； N3 logaMn?nlogaM (n?R)． ○ 2 loga○ 注意：换底公式 logab?logcbc?0，b?0） （a?0，且a?1；且c?1；． logca1n（2）logab?． logab； mlogba利用换底公式推导下面的结论 （1）logambn?（二）对数函数 1、对数函数的概念：y?logax(a?0，且a?1)，函数的定义 域是（0，+∞）． 2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)． ○ 2、对数函数的性质： a>1 32.521.50 定义域x＞0 值域为R 在R上递减 函数图象都过定点（1，0） 1、幂函数定义： y?x?(a?R)，其中?为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）图象都过点（1，1）； （2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数 （3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数． 例题： 1. 已知a>0，a 0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( ) log27?2log522.计算： ①log32? ;②24?log3= ；2535= ; 21log27642 3.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为 24.若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a= 5.已知f(x)?log1?x(a?0且a?1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使f(x)?0的x的取值范围 a1?x 高中数学专题三 函数