|BF|＝?1－1?2＋?－2－0?2＝2 |AB|＝?4－1?2＋?4＋2?2＝35
|AF|2＋|BF|2－|AB|225＋4－45
cos∠AFB＝＝ 2|AF|·|BF|235324＝－5. 答案：D
x2y2
4．(2011·浙江)已知椭圆C1：a2＋b2＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2
y2
－4＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
13
A．a＝2
2
B．a2＝13 D．b2＝2
1
C．b＝2
2
解析：依题意：a2－b2＝5， x2y2
令椭圆2＋2＝1，
b＋5b
1
如图可知MN＝3AB， x21N∴x2＝9， B
?y＝2x由?x2y2
＋b2＝1，2b＋5?
b2∴xN＝
?b2＋5?
，
5b2＋20
2
??y＝2xa22由?222∴xB＝5， ?x＋y＝a?
b2?b2＋5?
25b＋201x2N∴x2＝a2＝9， B
5∴又a2＝b2＋5， 1
∴9b2＝b2＋4，∴b2＝2. 答案：C
5．(2011·福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于( )
13A.2或2 1
C.2或2
2B.3或2 23D.3或2 解析：∵|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2， 42
∴|PF1|＝3|F1F2|，|PF2|＝3|F1F2|
42
则若|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|＋3|F1F2|＝2|F1F2|>|F1F2|， 1
知P点在椭圆上，2a＝4c，∴a＝2c，∴e＝2.
422
若|PF1|－|PF2|＝3|F1F2|－3|F1F2|＝3|F1F2|<|F1F2|， 4c33
知P点在双曲线上，2a＝3c，∴a＝2，∴e＝2. 答案：A
x2y2
6．(2011·邹城一中5月模拟)设F1，F2是双曲线a2－b2＝1(a>0，→→→b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(OP＋OF2)·F2P＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为( )
2＋1
A.2 3＋1C.2
→→→
解析：∵(OP＋OF2)·F2P＝0， ∴OB⊥PF2且B为PF2的中点， 又O是F1F2的中点
B.2＋1 D.3＋1
∴OB∥PF1，∴PF1⊥PF2. |PF1|－|PF2|＝2a??222则?|PF1|＋|PF2|＝4c??|PF1|＝3|PF2|
整理，可得(3－1)c＝2a，
c
∴e＝a＝3＋1. 答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
1??x2y2
7．(2011·江西)若椭圆a2＋b2＝1的焦点在x轴上，过点?1，2?作
??圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
解析：可知其中一个切点(1,0)为椭圆的右焦点，∴c＝1. 1
两切点的连线AB被OP垂直平分，∴所求直线OP斜率kOP＝2.∴kAB＝－2，
∴直线AB：y－0＝－2(x－1)
∴y＝－2x＋2，∴上顶点坐标为(0,2)． ∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5 x2y2
∴椭圆方程5＋4＝1. x2y2
答案：5＋4＝1
8．(2011·课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，2
焦点F1，F2在x轴上，离心率为2，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
c2
解析：由已知4a＝16，a＝4，又e＝a＝2， ∴c＝22，
22xy
∴b2＝a2－c2＝8，∴椭圆方程为16＋8＝1.
x2y2
答案：16＋8＝1
x22
9．(2011·浙江)设F1，F2分别为椭圆3＋y＝1的左、右焦点，点→→
A，B在椭圆上，若F1A＝5F2B，则点A的坐标是____________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵F1(－2，0)，F2(2，0)，
→→
∵F1A＝(x1＋2，y1)，F2B＝(x2－2，y2)， ∴(x1＋2，y1)＝5(x1－2，y2)，
???x1＋2＝5?x2－2??x1＝5x2－62∵???， ???y1＝5y2?y1＝5y2
又∵点A，B都在椭圆上， x22∴3＋y22＝1，
2
x12＋y1＝1， 3
?5x2－62?22
∴＋(5y2)＝1， 325x22－602x2＋722∴＋25y2＝1， 3
?x22?
∴25?3＋y2?－202x2＋24＝1，
??
2
∴25－202x2＋24＝1，
6
∴x2＝52，∴x1＝5x2－62＝0，
∴把x1＝0代入椭圆方程得y21， 1＝1，∴y1＝±∴点A(0，±1)．