如图，A，B是海面上位于东西方向相聚5（3?3海里的两个观测点，现位于A点）北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？
解：由题意知AB?5(3?3)海里，
?DBA?90??60??30?,?DAB?90??45??45?,
∴?ADB?180??(45??30?)?105? 在?DAB中,由正弦定理得
DBAB?，
sin?DABsin?ADB∴DB?AB?sin?DAB5(3?3)?sin45?5(3?3)?sin45? ??sin?ADBsin105?sin45?cos60??cos45?sin60?=
53(3?1)?103（海里）
3?12
答：救援船到达D点需要1小时.
高中数学专题三 函数
（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）
第六章 导 数
第01讲：导数的概念、几何意义及其运算
常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：
C'?0(C为常数);(xn)'?nxn?1,n?N?；
(ax)'?axlna；
x'x(sinx)'?cosx;(cosx)'??sinx; (e)?e;11''(lnx)?;(logax)?logae
xx法则1： [u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x) 法则2： [u(x)v(x)]'?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)
''法则3： [u(x)]'?u(x)v(x)?u(x)v(x)(v(x)?0)
v(x)v2(x)（一）基础知识回顾：
1.导数的定义：函数y?f(x)在x0处的瞬时变化率
f(x??x)?f(x)?y00称为函数y?f(x)在x?x0处的导数，记作f/(x0)或lim?lim?x?0?x?x?o?xf(x0??x)?f(x0)y/x?x0，即f/(x0)?lim
?x?0?x如果函数y?f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x?(a,b)，
都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x)。称这个函数f(x)为函数y?f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即f(x)＝y＝
f(x??x)?f(x) lim?x?0?x导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数
//////y?f(x)在x0处的导数y/x?x0，就是导函数f(x)在x0处的函数值，即y//x?x0＝f/(x0)。
2. 由导数的定义求函数y?f(x)的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量
?f?f(x??x)?f(x);
?ff(x??x)?f(x)?f（2）.求平均变化率; （3）.取极限，得导数y/＝lim。 ??x?0?x?x?x3.导数的几何意义：函数y?f(x)在x0处的导数是曲线y?f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率。 因此，如果f?(x0)存在，则曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为______________________。
4.常用的求导公式、法则（除上面大纲所列出的以外，还有）：
?n/n?11??（1）公式(x)?nx的特例：①(x)??______; ②???_______, ③(x)???x?_________.
（2）法则：①[c?f(x)]?________; ②若y?f(u),u??(x)，则y?=_______________. （二）例题分析： 例1. 已知y=
/x1，用导数的定义求y′. x例2.设曲线y?A．2 例3.曲线y=
x?1在点(3，2)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a?（ D ） x?1B．1 C．?1 D．?2
22134x?x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A ） 331212（A） （B） （C） （D）
9933 例4.已知直线l1为曲线y?x2?x?2在点（1，0）处的切线， l2为该曲线的另一条切线，且l1?l2.
（Ⅰ）求直线l2的方程；
（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.
第02讲： 导数在研究函数中的应用
（一）基础知识回顾：
1. 设函数y?f(x)在某个区间（a,b）内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则y?f(x)在这个区间内单调递增；如果在这个区间内＿＿＿＿，则y?f(x)是这个区间内单调递减. 2. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数y??f?(x)； （2）解方程f?(x)?0； （3）使不等式f?(x)?0成立的区间就是递增区间，使f?(x)?0成立的区间就是递减区间。
3. 求函数y?f(x)的极值的方法：
（1）求导数y??f?(x)； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（临界点）； （3）如果在根x0附近的左侧f?(x)____0，右侧f?(x)____0，那么f(x0)是y?f(x)的极
大值；如果在根x0附近的左侧f?(x)____0，右侧f?(x)____0，那么f(x0)是y?f(x)的极小值
4．在区间 ?a,b?上求函数 y?f(x)的最大值与最小值 的步骤：
（1）求函数 y?f(x)在(a,b)内的导数 ； （2）求函数 y?f(x)在(a,b)内的极值 ； （3）将函数y?f(x)在(a,b)内的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)作比较， 其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值 （二）例题分析：
例1．已知函数f(x)?x?3ax?2bx在点x=1处有极小值-1．
试确定a、b的值．并求出f（x）的单调区间．
例2．设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.
〔0,3〕,都有f (x)＜c2成立，求c的取值范 (Ⅰ)求a、b的值; （Ⅱ）若对于任意的x?围.
1.设a?R，若函数y?e?ax，x?R有大于零的极值点，则（ ）
x3211 D. a?? ee,2．如果函数y?f(x)的图像如右图,那么导函数y?f(x)的图像可能是（ ）
A．a??1 B. a??1 C. a??
3．。函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
（A）(
3??3?5?，) （B）(?，2?) （C）(，) （D）(2?，3?)
2222
第03讲： 导数的实际应用
（一）基础知识回顾：
1.结论：若函数f(x)在区间A上有唯一一个极值点x，且f(x)是这个函数
00的极大（小）值，那么这个极值必定就是函数f(x)在区间A上的最大（小）值。
2.定积分的几何意义：
?baf(x)dx表示由直线__________,_________,__________和曲
线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。
3．微积分基本定理（牛顿---莱布尼兹公式）：如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，
b并且F?(x)?f(x)，那么?f(x)dx?F(b)?F(a)。常常把F(b)?F(a)记作F(x)|。
aba
（二）高考题目：
20.（2007）(本小题满分12分)
c2,其中a为实数. 设函数f(x)=2x?ax?a(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间. 解：（Ⅰ）
f(x)的定义域为R，?x2?ax?a?0恒成立，???a2?4a?0，
?0?a?4，即当0?a?4时f(x)的定义域为R．
（Ⅱ）
x(x?a?2)exf?(x)?2(x?ax?a)2，令
f?(x)≤0，得x(x?a?2)≤0．
由
f?(x)?0，得x?0或x?2?a，又?0?a?4，
?0?a?2时，由f?(x)?0得0?x?2?a；
当a?2时，f?(x)≥0；当2?a?4时，由f?(x)?0得2?a?x?0，
a?2时，f(x)的单调减区间为(0，2?a)；
即当0?当2?
a?4时，f(x)的单调减区间为(2?a，0)．
21．（2008）（本小题满分12分） 已知函数
f(x)?kx?1（c?0且c?1，k?R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是
x2?cx??c．
（Ⅰ）求函数
f(x)的另一个极值点； f(x)的极大值M和极小值m，并求M（Ⅱ）求函数
?m≥1时k的取值范围．
f?(?c)?0，
解：（Ⅰ）
k(x2?c)?2x(kx?1)?kx2?2x?ckf?(x)??(x2?c)2(x2?c)2，由题意知
即得c由
2k?2c?ck?0，（*）?c?0，?k?0．
f?(x)?0得?kx2?2x?ck?0，
由韦达定理知另一个极值点为x（Ⅱ）由（*）式得k?1（或x?c?2）． k22，即c?1?． c?1k当c?1时，k?0；当0?c?1时，k??2．
?（i）当k?0时，f(x)在(??，?c)和(1，??)内是减函数，在(?c，1)内是增函数．
k?1k??0， c?12?M?f(1)??kc?1?k2m?f(?c)?2??0，
c?c2(k?2)kk2由M?m??≥1及k?0，解得k≥2．
22(k?2)（ii）当k??2时，f(x)在(??，?c)和(1，??)内是增函数，在(?c，1)内是减函数．
?k2k?M?f(?c)??0，m?f(1)??0
22(k?2)?k2k(k?1)2?1M?m???1?≥1恒成立．
2(k?2)2k?2综上可知，所求k的取值范围为(??，?2)?[2，??)．