（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：把使f(x)?0成立的实数y?f(x)(x?D)的零点。
x叫做函数
2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点． 3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数○
y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点：
二次函数y?ax2?bx?c(a?0)．
（1）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
2（2）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
2（3）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
高考试题
8.（2007）若函数f(x)的反函数为f?1(x),则函数f(x-1)与f?1(x?1)的图象可能是 （ D ）
2
11（2007）.f(x)是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若 a＜b，则必有 （ C ）
A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b) C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)
1??2x?1?13（2007）.lim?2?? 1/3 . x?1?x?1?x?x?27（2008）．已知函数f(x)?2x?3，f?1(x)是f(x)的反函数，若mn?16（m，n?R+），则f?1(m)?f?1(n)的值为（A ） A．?2
B．1
C．4
D．10
?y≥1，?10（2008）．已知实数x，y满足?y≤2x?1，如果目标函数z?x?y的最小值为?1，则实
?x?y≤m．?数m等于（ C ） A．7 B．5
C．4
D．3
11 （2008）．定义在R上的函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy（x，y?R），
f1)(2?，则f(?3)等于（ B ）
A．2
B．3
C．6
D．9
3.（2009）函数f(x)?2x?4(x?4)的反函数为 （ B ）
121x?2(x?0) (B) f?1(x)?x2?2(x?2) 2212?1（C）f(x)?x?4(x?0) (D)
21f?1(x)?x2?4(x?2)
215.若3sin??cos??0,则 的值为 （ A ） 2cos??sin2?5210（A） （B） （C） (D) ?2
333?1（A）f(x)?3（2011）．设函数f(x)（x?R）满足f(?x)?f(x)，f(x?2)?f(x)，则函数y?f(x)的图像是 （ ）
【解】选B 由知B，D符合；由
f(?x)?f(x)得y?f(x)是偶函数，所以函数y?f(x)的图象关于y轴对称，可f(x?2)?f(x)得y?f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是
4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．
6．（2011）函数f(x)?x?cosx在[0,??)内 （ ）
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点 （C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点
【解】选B （方法一）数形结合法，令
f(x)?x?cosx?0，则x?cosx，设函数y?x和y?cosx，它们在[0,??)的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数
f(x)?x?cosx在[0,??)内有且仅有一个零点；
（方法二）在x?[?2,??)上，x?1，cosx?1，所以f(x)?x?cosx?0；
在
x?(0,]2?，
f?(x)?12x?sinx?0，所以函数
f(x)?x?cosx是增函数，又因为
f(0)??1，f()?2
????0，所以f(x)?x?cosx在x?[0,]上有且只有一个零点．
22212（2011）．设n?N?，一元二次方程x?4x?n?0有整数根的充要条件是n? ． ．．
12．设n?N?，一元二次方程x2?4x?n?0有整数根的充要条件是n? ． ．．
【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算． 【解】x?4?16?4n?2?4?n，因为x是整数，即2?4?n为整数，所以4?n为整24，又因为n?N?，取n?1,2,3,4，验证可知n?3,4符合题意；反之n?3,4时，可推
2数，且n?出一元二次方程x【答案】3或4
?4x?n?0有整数根． ．．
高中数学专题三 函数
（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）
第四章、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k?tan?。 当??90?时，k不存在。 ②过两点的直线的斜率公式：k?y2?y1(x1?x2)
x2?x1（3）直线方程
①点斜式：y?y1?k(x?x1)直线斜率k，且过点?x1,y1? 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90°时，它的方程是x=x1。
②斜截式：y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：④截矩式：
y?y1x?x1?（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2?
y2?y1x2?x1xy??1 ab其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。
⑤一般式：Ax?By?C?0（A，B不全为0） 注意
平行于x轴的直线：y?b（b为常数）； 平行于y轴的直线：x?a（a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系
平行于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：
A0x?B0y?C?0（C为常数）
（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k的直线系：（ⅱ）过两条直线l1:为
y?y0?k?x?x0?，直线过定点?x0,y0?；
A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程
，其中直线l2不在直线系中。 ?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0（?为参数）（6）两直线平行与垂直
当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时，
l1//l2?k1?k2,b1?b2； l1?l2?k1k2??1
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点
l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交
A1x?B1y?C1?0交点坐标即方程组?的一组解。 ??A2x?B2y?C2?0方程组无解?l1//l2 ； 方程组有无数解?l1与l2重合 （8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点， Bx2,y2）则|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2
（9）点到直线距离公式：一点P?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?C
A2?B2（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
题目练习
例2.设曲线y?A．2 例3.曲线y=
x?1在点(3，2)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a?（D ） x?1B．1 C．?1 D．?2
22134x?x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） 331212（A） （B） （C） （D）
9933 例4.已知直线l1为曲线y?x2?x?2在点（1，0）处的切线， l2为该曲线的另一条切线，且l1?l2.
（Ⅰ）求直线l2的方程；
（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.
高中数学专题三 函数
（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）
第五章 三角函数
12、同角三角函数的基本关系：?1?sin2??cos2??1 ?2?13、三角函数的诱导公式：
sin??tan? cos??1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???．