20．（2009）（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?ln(ax?1)?1?x,x?0，其中a?0 1?x???若f(x)在x=1处取得极值，求a的值； ????求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）若
f(x)的最小值为1，求a的取值范围。
解（Ⅰ）
a2ax2?a?2f'(x)???, 22ax?1(1?x)(ax?1)(1?x)∵
f(x)在x=1处取得极值，∴f'(1)?0,即a?12?a?2?0,解得a?1.
（Ⅱ）
ax2?a?2f'(x)?,
(ax?1)(1?x)2?0, ∴ax?1?0.
∵x?0,a①当a?2时，在区间(0,??)上，f'(x)?0,∴f(x)的单调增区间为(0,??).
②当0?a?2时，
由
f'(x)?0解得x?2?a2?a,由f'(x)?0解得x?, aa2-a2-a),单调增区间为（，??）. aa∴
f(x)的单调减区间为（0，（Ⅲ）当a?2时，由（Ⅱ）①知，f(x)的最小值为f(0)?1;
当0?a?2时，由（Ⅱ）②知，f(x)在x?2?aa处取得最小值
f(2?a)?f(0)?1, a综上可知，若
f(x)得最小值为1，则a的取值范围是[2,??).
21.（2010）已知函数（Ⅰ）若曲线yf(x)?x，g（x）=alnx，a?R
?f(x)与曲线y?g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
f(x)?g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值?(a)的解析式；
（Ⅱ）设函数h(x)?（Ⅲ）对（Ⅱ）中的?(a)和任意的a?0,b?0时，证明：
??(
a?b??(a)???(b)2ab)????(). 22a?b21．（2011）（本小题满分14分） 设函数
f(x)定义在(0,??)上，f(1)?0，导函数f?(x)?1，g(x)?f(x)?f?(x)． x（1）求g(x)的单调区间和最小值； （2）讨论g(x)与g(（3）是否存在x01)的大小关系； x1对任意x?0成立？若存在，求出x0的取值范围；若x?0，使得|g(x)?g(x0)|?不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出原函数
，并求出f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间）
最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．
1，∴f(，又∵f(1)?0，所以ln1?c?0，即c?0， x)?nlxc?（c为常数）x1∴f(x)?lnx；g(x)?lnx?，
xx?1x?1??0，解得x?1， ∴g?(x)?，令，即g(x)?022xx【解】（1）∵
f?(x)?当x?(0,1)时，g?(x)?0，g(x)是减函数，故区间在(0,1)是函数g(x)的减区间； 当x?(1,??)时，g?(x)所以x?0，g(x)是增函数，故区间在(1,??)是函数g(x)的增区间；
?1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以g(x)的最小值是g(1)?1． （2）g(111)??lnx?x，设h(x)?g(x)?g()?2lnx?x?， xxx，
(x?1)2则h?(x)??x2当x1?1时，h(1)?0，即g(x)?g()，
x当x?(0,1)?(1,??)时，h?(x)?0，h?(1)?0， 因此函数h(x)在(0,??)内单调递减，
1x?1时，h(x)?h(1)=0，∴g(x)?g()；
x1当x?1时，h(x)?h(1)=0，∴g(x)?g()．
x当0?（3）满足条件的x0不存在．证明如下： 证法一 假设存在x0即对任意x?0，使|g(x)?g(x0)|?1对任意x?0成立， x?0有lnx?g(x0)?lnx?2 ① x但对上述的x0，取x1因此不存在x0?eg(x0)时，有lnx1?g(x0)，这与①左边的不等式矛盾，
1对任意x?0成立． x1证法二 假设存在x0?0，使|g(x)?g(x0)|?对任意x?0成立，
x?0，使|g(x)?g(x0)|?由（1）知，g(x)的最小值是g(1)?1， 又g(x)?lnx?1?lnx，而x?1时，lnx的值域为(0,??)， x∴当x…1时，g(x)的值域为[1,??)， 从而可以取一个值x1?1，使g(x1)…g(x0)?1，即g(x1)?g(x0)…1,
1，这与假设矛盾． x11对任意x?0成立． x∴|g(x1)?g(x0)|…1?∴不存在x0?0，使|g(x)?g(x0)|?
21.（2012）（本小题满分14分）
设函数.
（Ⅰ）设（Ⅱ）设围；
，
，若对任意
，证明：
，有
在区间内存在唯一的零点；
，求
的取值范
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设的增减性。
是在内的零点，判断数列
高中数学专题四
《圆锥曲线》知识点小结
一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：2a?|F1F2|表示椭圆；2a?|F1F2|表示线段F1F2；2a?|F1F2|没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：
标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y2??1(a?b?0) a2b2椭圆、双曲线、抛物线
中心在原点，焦点在y轴上 y2x2?2?1(a?b?0) 2ab