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过点P作PH⊥AB于点H。则
∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，
∴P D′=PD=4－x，E D′=ED= y=－x2＋4x，EA=AD－ED= x2－4x＋2，∠P D′E=∠D=900。 在D′H=Rt△D′P
H
中，PH=2，
D′P
=DP=4－x，
?4?x?2?22?x2?8x+12。
∵∠ E D′A=1800－900－∠P D′H=900－∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900，
E D?EA?x2＋4xx2?4x+2 ∴△E D′A∽△D′P H。∴，即， ??24?xD?PD?Hx?8x+12 即x?x2?4x+2x2?8x+12，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得
x?2?2。 2?2+2?2+25+222+2?+4?=>2， ∵当x?时，y=????222?2?∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方
2程的增根）。
?2?2?2?25+222?2+4?=<2， ∵当x?时，y=????2?222??∴此时，点E在边AD上，符合题意。 ∴当x?22?2时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。 2【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。 【分析】（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE， ∴
DEDPy4?x，即?。∴y=－x2＋4x。 ?CPCMx1（2）当点E与点A重合时，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。 解得x?2?2。
（3）过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，
可得△E D′A与△D′P H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。
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2. （2012江苏常州10分）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0）。以点P为圆心，5m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（D点在点C的上方）。点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）。
（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？ （3）连接BC，求∠DBC－∠DBE的度数。
【答案】解：（1）B（3m，0），E（m，4m）。
（2）线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下：
由（1）知B（3m，0），E（m，4m）， ∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称， ∴D（0，3m）。
∴BD2??3m?+?3m?=18m2，DE2?2m2，
22BE2??3m?m?+?4m?=20m2。
∴BD2+DE2?BE2。∴△BDE是直角三角形。 ∴BE是△BDE的外接圆的直径。
设△BDE的外接圆的圆心为点G，则由B（3m，0），E（m，4m）得G
（2m，2m）。
过点G作GI⊥DG于点I，则I（0，2m）。 根据垂径定理，得DI=IQ ，∴Q（0，m）。
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∴
BQ??3m?2+m2=10m, EQ?∴BQ=EQ。
m2+?4m?m?=10m。
2（3）延长EP交x轴于点H，则EP⊥AB，BH=2m。
根据垂径定理，得AH=BH=2m，AO= m。 根据圆的对称性，OC=OA= m。
又∵OB=3m，DE?2m，DB?32m， ∴
OCOBOCm1OB3m1。。 ??=, ?=DEDEDB2m2DB32m2又∵∠COB=∠EDB=900，∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。 ∴∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO。 又∵OB=OC，∴∠DBO=450。∴∠DBC－∠DBE=450。
【考点】直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理，圆的对称性，平行四边形的性质，中点坐标，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）过点P 作PH⊥x轴于点H，PF⊥y轴于点F，连接OE，BP。
∵点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0）， ∴ P（m，m），H（m，0），F（0，m），OH=OF=HP= m。 ∵PB=5m，∴HB?PB?HP?∴OB=3 m。∴B（3m，0）。
∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，∴D（0，3m）。 ∵四边形DOPE是平行四边形，∴PE=OD=3m，HE=4m。∴E（m，4
m）。
（2）由勾股定理和逆定理，易知△BDE是直角三角形，从而根据圆周角定理和垂
径定理可得点Q的坐标，从而根据勾股定理可求出BQ和EQ的长比较即得。
（3）求出有关线段的长，可得
22?5m?m2?2m。
?2OCOB，从而证得△COB∽△EDB，得到?DEDB∠OBC=∠DBE。因此∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO=450。
3. （2012江苏淮安12分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A
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（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH（点E与O重合）.
（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝ ，OM= （2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。
①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0 【答案】解：（1）450；22。 （2）①如图1，设直线HG与y轴交于点I。 ∵四边形OABC是矩形，∴AB∥DO，AB=OC。 ∵C（2，0），∴AB=OC=2。 又∵AD∥BO， ∴四边形ABOD是平行四边形。∴DO=AB=2。 由（1）易得，△DOI是等腰直角三角形，∴OI=OD=2。 ∴t=IM=OM－OI=22－2。 ②如图2，过点F，G分别作x轴，y轴的垂线，垂足为R，T，连接OC。则 由旋转的性质，得，OF=OA=4，∠FOR＝450， ∴OR=RF=22，F（22，－22）。 由旋转的性质和勾股定理，得OG=25， 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设TG=MT=x，则OT=OM＋MT=22+x。 在Rt△OTG中，由勾股定理，得x+22+x∴G（2，－32）。 ∴用待定系数法求得直线FG的解析式为y=x?42。 当x=2时，y=2?42。 ∴当t=42?2时，就是GF平移到过点C时的位置（如图5）。 ∴当0 2??=?25?，解得x=22 2。 如图3 ，t=OE=OC=2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边EF经过点C； 如图4，t=OE=OM=22，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边 HG经过点O； 如图5，t=OE=42?2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边FG 经过点C。 ∴（I）当0 由E（0，t），∠FFO=450，用用待定系数法求得直线EP的解析式为 y=?x+t。 当x=2时，y=?2+t。∴CP=?2+t。∴S?1?t?2+t??2=2t?2。 2由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费