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(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解
答问题。
6. （2012江苏连云港12分）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，
问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由． 问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
【答案】解：问题1：对角线PQ与DC不可能相等。理由如下：
∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是
矩形，
∴∠DPC＝90°。
∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，∴DC＝22。 设PB＝x，则AP＝2－x，
在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋12＝8，化简得x2－2x
＋3＝0，
∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，∴方程无解。
∴不存在PB＝x，使∠DPC＝90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。 问题2：存在。理由如下：
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如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G， 则G是DC的中点。
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H。
∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH。 ∵PD∥CQ，∴∠PDC＝∠DCQ。∴∠ADP＝∠QCH。 又∵PD＝CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS）。∴AD＝HC。 ∵AD＝1，BC＝3，∴BH＝4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。 问题3：存在。理由如下： 如图3，设PQ与DC相交于点G， ∵PE∥CQ，PD＝DE，∴∴G是DC上一定点。
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴∵AD＝1，∴CH＝2。∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5。 ∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5。 问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G， ∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴∴G是DC上一定点。
作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交
QH的延长线于K。
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90° ∠PAG＝∠QBG，
∴∠QBH＝∠PAD。∴△ADP∽△BHQ，∴
DGPD1=?。 GCCQ2ADPD1=?。 CHCQ2PAAG1。 =?BQBGn+1ADPA1， =?BHBQn+1∵AD＝1，∴BH＝n＋1。∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4。 过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形。
∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2。∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM。
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∴∠DCM＝45°。∴∠KCH＝45°。 ∴CK＝CH?cos45°＝
2 (n＋4)， 22 (n＋4)。 2∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为
【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。 【分析】问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等。
问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。
问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD＝DE，可得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案。
问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得
DGPD1=?，易证得GCCQ2ADPA1与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角=?BHBQn+1三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案。 7. （（2012江苏南京9分）“？”的思考
下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm， 根据题意，得x?2x=288． 解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12 所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m） 答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2． ？ 我的结果也正确
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打开了一个“？”
结果为何正确呢？
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（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： 变化一下会怎样……
（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．
dAA'D'cDB'BaC'bC
【答案】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由。
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程： 设温室的宽为ym，则长为2ym。
则矩形蔬菜种植区域的宽为（y－1－1）m，长为（2y－3－1）m。 ∵
2y?3?12y?4? 2?，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1。
y?1?1y?2（2）a+c b+d =2。理由如下：
要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要
A?D? AD，即?A?B?ABAD??a?c?AB??b?d??2， 1即
2AB??a?c?AB??b?d??2 ，即a+c b+d =2。 1【考点】一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质。
【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。
（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得
然后利用比例的性质。
8. （2012江苏南京10分）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。
A?D? AD ，?A?B?AB由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
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（1）已知∠APB是?O上关于点A、B的滑动角。 ① 若AB为⊙O的直径，则∠APB= ② 若⊙O半径为1，AB=2，求∠APB的度数
（2）已知O2为?O1外一点，以O2为圆心作一个圆与?O1相交于A、B两点，∠APB为?O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交?O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。 【答案】解：（1）①900。
②如图，连接AB、OA、OB．
在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=2，∴OA2+OB2=AB2。 ∴∠AOB=90°。
当点P在优弧 AB 上时（如图1），∠APB=当点P在劣弧 AB 上时（如图2）， ∠APB=
1∠AOB=45°； 21（360°－∠AOB）=135°。 2（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．
第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在
点P与点N之间，如图3，
∵∠MAN=∠APB+∠ANB， ∴∠APB=∠MAN-∠ANB。
第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在
点P与点B之间，如图4，
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB）， ∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。
第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点
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