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第二章 短时傅里叶变换
2.1 引言
短时傅里叶变换(STFT,short-time Fourier transform)是仍然以傅里叶变换为理论基础的时频分析方法，以实现时变信号的局部分析，在所以时频分析方法中，STFT也是最简单最为常用的一种方法。
短时傅里叶变换是利用一段时间有限且宽度固定的窗函数对一段信号进行截取，且假设这段分析窗口内的信号是平稳的，在对取出的小段信号进行傅里叶变换，这样就获得这短时间的频谱，然后沿着时间轴慢慢的移动小窗，每隔一段时间开始截取，这样就可以获得连续的一组不同时刻的信号局部频谱图，进而可以得到信号频率随着时间变化特性，即时变特性。
短时傅里叶变换克服了传统傅里叶变换的缺点，实现了信号的时频局部分析，且算法简单，容易实现，在很长一段时间得到了广泛的使用，但是需要注意由于窗函数的固定，导致了它也有着分辨率不高等比较明显的缺陷。
2.2 短时傅里叶变换的基本原理
1946年D.Gabor提出 Gabor变换，最开始运用时间频率两个变量对信号进行描述，打开时频分析的大门。在此基础上，R.K.Potter等科学家在1947年为了更好地去理解语音信号，首次提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念：即将一段信号通过固定的窗将信号以时间为轴分解成一小段一小段，并分别进行傅里叶分析，用于确定该时间内的频率。
短时傅里叶变换的时域表达式如下式2.1：
2.1 其中的g(t)就是窗函数，x（t）就是待测信号，而STFT（t,f)就是对截取出来的信号的傅里叶变换。随着t的变化，窗函数在时间轴上移动，每过一个时间段，就用窗函数开始对信号进行截取，并且只对窗函数截取的信号进行傅里叶分析，即获得在t时刻该信号的频谱。随着窗沿着t在时间轴上的移动，f(t)在不断的被分化，我们也会获得一系列的有关于该信号在不同时间的局部频谱，即信号的时
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变特性。我们根据对所获得的局部频谱分析，也就可以得出在不同时间下的信号的频率变换关系。如图2.1所示，可以看出 STFT是一种线性时频分析方法，即信号的频谱和数据当中提供正弦成分的幅度成线性比例。
2.3 STFT的特点
由于信号的时域和频域可以通过傅里叶变换相互连接起来，那么时域特性和频域特性就不是相互独立的。当时间宽度是有限的长度时，那么频带宽度就会存在无限宽，反之亦然，对于信号来说不同时存在着有限的时间宽度和频带宽度。 为了在几何上直观的描述短时傅里叶变化的时频局部化，我们对其引进了时-频窗，在时间和频率的坐标系里，时-频窗是时窗和频窗的结合作用的结果。我们对短时傅里叶变换的窗进行展开，利用数学表达式，可以将时-频窗表示为：
[?]δ? [? ? ? , ? ? ] ? ? , ? ? ?，
为时窗半径，又称窗口的时宽，ε则
为频窗半径，或者频宽，其窗口面积为4δ·ε。对于窗口来说，窗宽越小，则窗的分辨率越高，对于我们这些使用者来说，我们希望的是ε和δ都趋于无限小，这样我们得出的时频特性就会接近完美，但是这个是不可能的，由于时间和频带相互作用，根据Heisenberg的测不准原理，一个粒子的动量或者位置越确定，那么它的位置或者动量就越不确定。对于ε和δ来说，二者就如同位置与动量，是相互制约关系，两者都不可能同时变得很小，当其中一个的分辨率满足无限小的时候，那么其他一个分辨率则会向反方向发展，这种矛盾不可化解。
图2.2反映窗函数的变化规律
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图2.2 短时傅里叶变换窗函数时频关系 W W1 W2
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t2
t 图2.3 短时傅里叶变化窗的移动 虽然短时傅里叶变化实现了时频了局部化分析，克服了傅里叶变化的缺陷，但是对于其自身来说，其时间分辨率和频率分辨率还是存在这不可调和的矛盾。当其窗口函数确定，它的窗口形状也就确定，在之后的分析中，只能在平面上移动窗口，并不能改变窗口的大小和形状。
从上面的分析，如果我们要改变分辨率，那么我们需要改变窗口的大小，而对于短时傅里叶变换来说，根据测不准原理ε·δ≥1/2,即窗口面积不得小于2。而由于时间和频率的矛盾性，在信号的分析中，我们不可能同时获得很高的时间分辨率同时也获得很高的频率分辨率。所以在分析信号的时候我们在某些时刻必须要根据我们的需要来选定分辨率，要么牺牲时间分辨率来获得较高频率分辨
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下图2.4和图2.5反映了短时傅里叶变换一些特点所在。
图2.4 时变信号
图2.5 短时傅里叶变换频谱
从图2.4我们可以看出这是一个非平稳的信号，我们可以看出信号的频率随着时间在一直变大，我们使用汉民窗对其进行短时傅里叶变换在图2.5我们就可以看出频率一直在向上增加随着时间变化。这就短时傅里叶变换较之于傅里叶变换的特点所在。
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