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2.小波变换和短时傅里叶变换的对比
在前文我们就可以知道，短时傅里叶变换对比与是傅里叶变换来说，它克服了傅里叶变换不能局部分析的缺陷，利用一个可以随着时间轴移动的窗口实现了对信号的局部化分析。但是短时傅里叶变换有一个很大的缺陷，其窗口虽然可以随着时间轴移动，但是窗口的大小却是不能变化的，这样根据测不准原理就不能同时保证时间分辨率和频率分辨率。
而对与小波变换来说与短时傅立叶变换有着很大的相似之处，二者都是线性变换，都是利用了一个基函数对于信号某个局部进行投影截取分析，但不同的是小波函数的基函数系是通过一基本母小波函数的不同尺度的伸缩和平移构成的，其时宽带宽积很小，且在时间上和空间上很集中。小波变换是将信号分解为各个不同小波的组合。小波变换对于短时傅里叶变换来说，它的分辨能力会随着分辨尺度的改变而改变，当分辨尺度a变大时，它的频率分辨率会提高但是相应的时间分辨率则会下降，当a开始变小的时候，那么久会相反，时间分辨率下降，频率分辨率会提高。
图3.11 简单描述了小波变换，傅里叶变换和短时傅里叶变换的的一些特点及其区别之处 图3.11
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3.6小波变换的在信号处理中的除噪性能
小波变换在噪音的的取出方面有着十分重要的重要的作用，在这里我们将会采用matlab自带的noissin信号函数及初设原始信号f（x）为例进行matlab仿真的分析。
f(x)?sin(0.03t)
e = noissin + 0.5*randn(size(e1));
首先我们对noissin函数上叠加上随机噪声信号得到e，在这个过程中我们会分别对比采用db10小波和sym8小波对上述的信号e进行5层分解，这也是小波变换的一个重要的特点，并且细节系数选用minimaxi阈值模式和尺度噪声（db10）以及选用sure阈值模式和尺度噪声(sym8)。我们在进行moissin噪声消除后，还对进一步对原信号分析，将原始信号和我们掺杂的噪声信号分离开来，仿真结果如图所示：
图3.12 信号和噪音以及混杂信号
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图3.13 分别进行小波变换的分析结果
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图1-1为我们的原始信号图形，1-2为叠加随机噪声后形成的混乱的图形，而1-3和1-4为采用了db10和sym8小波默认阈值进行降噪后的信号图形。从图1-3和1-4可以看出我们在采用db10和sym8小波进行降噪后的信号基本上恢复了起初的原始信号，去噪效果比较明显。但是也可以发现在我们滤波之后的信号与原始信号也会有不同，从图中可以很直观地看到采用阈值消噪后信号特征值较少导致了我们无法很准确还原最初的原始信号 这是由于我们在降噪过程中所用的分析小波和细节系数的阈值不恰当所致，如需要更好的恢复信号，我们还可以采用其它各个种类小波对其进行分析，在不断的通过选取不同的阈值去尝试，分析结果，最后得到一个合适的阈值。
从图2和图3中看出，在经过用db10对信号进行5层分解，然后分别对分解的第5层到第1层的低频系数和高频系数进行重构。可以得出其主要基波函数和高频噪声函数的图形，其中小分波分解的细节信号是有白噪声分解得到的，而正弦信号可以在图2中的近似信号a5得到。因为在这一层的影响已经可以忽略了，所以获得的信号就是初始信号的波形，从而把淹没在噪声中的有用信号有效地分离出来。
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第四章 S变换
4.1 引言
S变换和短时傅里叶变换，小波变换一样，都是线性变换方法，S变换最早是在1996年由Stockwell提出来的，它的基本小波是morlet小波，由简谐波和高斯函数的乘积构成，简谐波在时间域上只能做伸缩变换，而高斯函数却既可以平移也可以伸缩。S变换作为一种新兴的时频分析方法有着自己的特点，例如它的基本小波不必要满足小波容许性的条件，而其信号S变换的时频谱的分辨率和频率是相关的，并且与其的傅里叶谱保持着相关性等，因为有着这些有利于我们处理信号的特点，所以近年来S变换发展的十分迅速，依托着S变换基础，又新提出的广义S变换和改进S变换，这些本文暂时不做研究。
4.2 S变换的基本原理
S变换因为其余小波变换的相似度比较高，跟多人都将它看做是小波变换的“相位校正”，或者说是多分辨率框架下小波变换的一种延伸。给出信号x(t),其S变换的表达式如下：
1式中w?t???2?2??212???2，，为w(t)的傅里叶变换， ??Wv?exp-???f?22v?e??f?f???t2??t?2???v?因为exp????????exp????2??????????f???，则?exp?????2?????ft2222???2??2?v?， 2???exp????f????其中f可以看成一个常数，其单位与v相同。 经过数学手段，S变换的的标准表达式为:
而对于信号x(t)来说，它的连续小波的表达式为：
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