上海大学毕业设计
在式中,w(t,d)为基本母小波的比例复制,尺度d则决定了小波的分辨率和宽度。
在S变换中，窗函数就一定要满足：?w??-t,f?d??1，从而S变换和傅里
-??叶变换满足下式子：
上式确保了S变换是可逆的变换。
同样的我们也可以得到S变换在频域上的表达式：
F
-1表示傅里叶逆变换
4.3 S变换与STFT和CWT的区别联系
S变换在开始之初是结合了STFT和CWT的一些特点和理论基础 ，所以S变换具有它们的线性特性，所以S变换是一个线性的运算过程。我们把含噪声的的信号记做 Date(t)=Signal(t)+Noise（t)。当他们进行了S变换后的公式为为下ST{Date}=ST{Signal}+ST{Noise}，这样就更加有利于信号的噪声消除，S变换和短时傅里叶变换，小波变换的关系如下图显示，通过下图我们可以清晰直观的发现三者之间的区别和联系。
图 4.1 ST和STFT，CWT的区别和联系
36
上海大学毕业设计
4.4 S变换的时频特性
为了更好的描述S变换的一些时频特性，我给出以下的一组对比图片，其信号都是相同的合成信号。图一是合成信号的S变换的时频分布图，图二是合成信号的短时傅里叶变换变换时频分布图
图4.2 S变换时频分布图
37
上海大学毕业设计
图4.3 短时傅里叶变换时频分布图
从图中我们可以看出，S变换在中低频信号时候，其分辨率与小波变换和短时傅里叶变换基本一致，但是在高频区域我们可以发现，S变换相比于其他两种变换来说，其频域分辨的精度降低了，这是什么样的原因导致的呢。
我们先从S变换的核函数开始研究，下图4.6给出不同频率下的S变换的核函数。
图4.4 不同频率下的S变换的核函数
从图中我们可以看出，随着频率值的增加，S变换的核函数的时间长度会逐渐变短，频带变宽。这就是说明随着频率的变化，S变换的核函数的时频窗会随着频率的变化来不断的去改变时长和频带宽度。那是什么原因会导致了其核函数的这种变化，这就要经过严格的数学推导，经过证明，产生这种现象的原因是因
38
上海大学毕业设计
为S变换的中心频率和频宽的比值可能比较小，也就是说，在特定的频率下，时频窗比较的细长，这样就会致使时间分辨率比较好，但是频率分辨率下降，在时频分布图就会出现像之前的图那样，频域的分辨率不够准确，收敛度不够。如果想要改变这种现象，我们可以在S变换的理论中引进一个参量，借此来增加S变换中心频率和频宽的比值，从而达到目的。
4.5 S变换在信号处理中的作用
由于S变化具有优良的时频特性在地震资料和PQD等数据中有着广泛的运用，由于本人的能力有限，对S变换的理解不够深刻，所以在这里我就举几个比较简单的例子来说明S变换的时频特性。
首先我使用一个突变的正弦信号作为测试信号，如下图：
图 4.5 S变换的时频图
从图上看出来，大概在500MS的时候信号频率发生了突变，而在第二幅图中也
39
上海大学毕业设计
可以明显看出来，从这里可以看出S变换在时频特性上的优异性。
为了全面的展示S变换的优异的性能，我们再一次使用另外一个信号，这个信号是一个频率随着时间增加的渐变信号。
图4.7 S变换的时频图
上图第二个图的凸起是沿着对角线慢慢向上延伸的，这也符合我们信号的产生的频率变化。而且整个凸起的边缘也十分干净，误差较小。
40