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图3.7 FSK信号的小波变换
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3.6小波变换与其他变换的对比
1.小波变换与傅里叶变换的对比
小波变换和傅里叶变换都是属于线性变换的方法，对于小波变换来说，去是在傅里叶变化的基础上逐渐完善起来的时频分析方法。傅里叶变化是将连续变量映射成一维的离散的序列，而小波变换却是接在时间和频域的二维空间里对信号进行局部化分析，将连续变量映射成二位的离散序列。正是，因为如此，所以小波变换菜可以同时改变着时间分辨率和频率分辨率。
傅里叶变换只能简单的将时域反映到频域上去，它只能对整个信号的整体进行分析，对于一些简单的平稳信号来说，傅里叶变换可以快速而准确的表征出信号的特性。但是当遇到一些非平稳的时变信号来说，，傅里叶变换这个时候就会显得乏力，对于时域，傅里叶变换没有能力去改变，而对于频域，它也是只能简单的表现频域的叠加和。但是对于小波变换来说，由于其具有多分辨特性，它的窗口可以随着平移放大，这就好像是一个移动的放大镜，可以观察整个信号的细节。
下图3.10.，3.11和图3.12我们可以看出傅里叶变换和小波变换在表现频率随时间变化上的不同。
图 3.8 突变信号
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图 3.9 傅里叶变换示意图
图3.10 小波变换多层分解后
可以看出：信号经过傅里叶变换后，能够清楚确定原始信号包含的两个频率值的大小，但是要想确定频率突变点的位置，傅里叶变换却没有这种能力。 利用小波变换对原始信号进行处理，可以清楚地确定频率突变点的的位置，且第一层分解的d1高频系数重构的图像比d2、d3高频系数重构的图像更清楚地确定了信号突变点的位置。
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为了更加直观的观察两者的变换，下图 图3.13，图3.14，图3.15分别为同一信号的傅里叶变换和小波变换的结果。
图3.11原始信号
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上海大学毕业设计 图3.11傅里叶变换三维图
图3.12 连续小波变换的三维图
从三维图可以看出来，在信号的频率变化的交接处，傅里叶变换所得出来的三维图的顶部是一平滑直线，说明傅里叶变换根本不能表征信号的频域变化的特性，对于时变信号，傅里叶变换不能表现其变化，我们也不能通过傅里叶变化得到信号的时频特性。
但是我们看小波变换的三维图，我们可以很清晰的看到信号的时间和频率的变化情况，并且在频率的变化处，我们可以沿着时间轴看到它的顶部不是像傅里叶变换一样是一条直线，它的幅度发生了改变，通过小波变换我们就可以比较清晰的获得信号的频率特性。
通过对比我们，可以发现，傅里叶变化一些对于平稳的的简单的信号来说，可以满足处理的需求，但是如果遇上了时变信号就会显得乏力，而小波变换由于它具有多尺度分析的特点，并且具有一个可以随着我们的需求不断改变的移动窗，它就可以满足大多数时变信号的处理需要，并且清晰明白的表现出信号的时频特性。
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