上海大学毕业设计
第三章 小波变换
3.1引言
小波变换（wavelet transform，WT）是一种新的时频变换分析方法，它在继承
和发展了短时傅立叶变换局部化分析的思想的同时，又克服了窗口的大小不随频率变化等缺点，能够提供一个不断随频率变化的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析处理的理想工具。小波变换具有多尺度特性，并且其同时在时域和频域上都有良好的局部化特性，这使得小波变化的发展十分迅速，在短短的十几年的时间里就获得了大量学者的研究和青睐。从信号频率的角度上看，低的频率对应于信号的整体信息，而高频率的分量则对应信号内部隐藏的细节，由于小波变换对高频部分采用的逐渐精细的时域步长，可以较好的聚焦到被分析信号的大量细节，这一特性也使得小波变换在压缩，边缘检测等方向得到了大量的使用。
3.2小波变换的基本原理
设??t??L?R?，当 ??w?满足允许以下条件时：
2c????????(?)d????
2则称??t?为一个“基小波”或者“母小波”。
对于小波变换来说，将基本小波的函数??t?做位移后，然后在不同尺度下与待分析信号做内积，就可以获得一个小波序列。
连续情况时，小波序列为： (基本小波的位移与尺度伸缩，CWT) 称?a,b?a,b?t??1?t?b???a,b?R;a?0? a?a??t?为小波函数，简称小波，其中的a为尺度参量，b为平移参量。变量a
反映的变换的尺度，变量b反映的是函数的平移位置。一般来说，母小波的能量聚集在原点，而小波函数的能量由于其位移则是集中在b点。下面我们看看一个典型的小波函数的图像。 图3.1 典型小波函数
21
上海大学毕业设计 图3.2小波变换时域频域关系
图3.1典型的小波函数
图3.2小波变换时域频域关系
从上图我们可以知道小波函数的窗口是一个大小随频率不断变化的时频分析方法，这一改进克服了短时傅里叶变换的缺陷，具有良好的时频分辨率。当我们将连续小波函数的基函数和短时傅里叶变换的基函数进行对比，我们可以发现小波变换基函数的尺度参数决定了小波变换的多分辨率分析特性，即是利用时间—尺度的联合函数来分析非平稳信号的“变焦距”法，用以达到分析信号局部特性。
22
上海大学毕业设计
3.3小波变换的特点以及性质
小波变换的特点如下：
1.多尺度分析是小波变换的十分重要的特点，它可以将函数表示为一个低频成分和在不同分辨率下的高频成分，可以提供构造小波的的基本统一框架，提供分解和重新构造函数的的一种快速算法。图3.3表示了分析过程
图3.3
2.小波分解的范围宽广，可以覆盖整个频域。
3.小波变换时的窗函数的宽度在进行频谱分析时候是根据信号在不断改变的，这就为小波变换的多尺度分析提供了基础。
4.小波变换具有良好的变焦特性，在低频的区域可以采用高频率分辨率和低频的时间分辨率，在高频的区域段，则反之。
小波变换的特点与其他时频分析方法大致是相同的，如下
1.线性性：如果f(t)和g(t)的小波变换是wf?a,b?和wg?a,b?，那么mf(t)+ng(t)d的小波变换为mwf?a,b?+nwg?a,b?
2.平移不变性：如果f(t)的小波变换是wf?a,b?，那么f(t-x)小波变换是
w?a,b-x?
f3.伸缩共变性：如果f(t)的小波变换是wf?a,b?，那么如果f(ct)的小波变换是
23
上海大学毕业设计
1w?a,b?。 cf4.自相似性：对于不同尺度的a和b的小波变换是具有自相似性的。 5.冗余性：由于小波变换的重构函数不是唯一的，并且小波变换的核函数具有不同的选择，例如正交小波非正交小波，所以小波变换自身就具有冗余。
3.4小波变换的时频分析
下面两个原信号为两个不同频率的信号图3.4和图3.6，经过连续小波变换后如图3.5和图3.7.
(S)
图3.4 原始信号
24
上海大学毕业设计
图3.5 小波变换后的信号
从图中我们可以看出来，使用小波变换可以很清楚的将所有频率标记出来。在图中，图像较为清楚的地方，其小波变换的尺度比较大，而较为模糊不清的地方，则小波变换的尺度则比较小。借助这个，我们就可以看到小波变换在时间和尺度上的分布关系，也正是因为小波变换的这个多尺度变换特性，我们就可以利用“变焦法”来获得信号的局部特性。
为了更好的显示这一特性，我继续采用了另外一组FSK信号，这是一组频率不均匀分布的信号，在图3.7中我们可以清晰看到在频率的分割线上，小波变换之后的的频谱变化也非常明显。
图3.6 chirp渐变信号信号
25