第九章 反常积分
前面讨论的定积分，事实上有两个前提：积分区间是有限的；被积函数是有界的.但实际问题常常要突破这两个前提,要求我们将函数f(x)在区间?a,b?上的定积分
?baf(x)dx从
不同方面予以推广.例如，将区间?a,b?推广到无限区间???,b?,?a,???,???,???，就有无限区间的反常积分，简称无穷积分；将区间?a,b?的有界函数f(x)推广到无界函数，就有无界函数的反常积分，简称瑕积分.将被积函数由一元函数推广到多元函数就有含参变量积分，等等.
第一节 无穷积分的性质与敛散性的判别
一、无穷积分的概念 引例 求曲线y?1和直线x?1及x轴所围成的开口曲边梯形的面积. 2x解: 在区间?1,???中任取一点b,那么由x轴、 曲线y?1及直线x?1与所围图形的 x2面积是可以用定积分计算的， 即
F(b)??很自然，把极限
b1dx1?1? 2bxlimb???1F(b)?lim(1?)?1
bb?????当作所求曲边梯形的面积，写作
S??11dx 2x由此可得一般的无穷积分的概念.
定义1 设函数f(x)在区间?a,???连续,任取t?a,则称极限
lim?t???taf(x)dx
为函数f(x)在区间?a,???上的反常积分(无穷积分).记作
???af(x)dx,即
?若此极限存在,称无穷积分散. 发散时仍用记号
??af(x)dx=limt????taf(x)dx
?????af(x)dx收敛. 若此极限不存在,则称无穷积分?af(x)dx发
???af(x)dx表示,但它不表示任何数.
类似可定义函数f(x)在???,b?上的无穷积分为
???b??f(x)dx?limt????btf(x)dx
定义函数f(x)在???,???上的无穷积分为
?否则称无穷积分
??f(x)dx??f(x)dx????c??cf(x)dx
其中c为任意常数.当且仅当上式右端的两个无穷积分都收敛时,称无穷积分
?????f(x)dx收敛,
?????f(x)dx发散. 根据积分区间可加性，不难证明，上式的右端与数c无关.
为了方便常取c=0.
设F(x)是f(x)的一个原函数,并记
F(??)?limF(x), F(??)?limF(x)
x???x???则无穷积分可表示为
????abf(x)dx=F(x)??a?F(??)?F(a)
???f(x)dx=F(x)b???F(b)?F(??)
????????f(x)dx=F(x)?F(??)?F(??)
即得到了与牛顿-莱布尼茨公式相似的表达式,所不同的是F(??)与F(??)是一种极限运算,当极限存在时, F(??)与F(??)表示极限值,当极限不存在时F(??)与F(??)只是记号,不表示数值.因此无穷积分的敛散性,取决于极限F(??)与F(??)是否存在. 显然,求无穷积分的基本思路是:先求定积分,再取极限.
例1 计算下列无穷积分
（1）
??????11?x?x2dxedxxedx （2） （3） （4）???1?x2?ex(lnx)2dx ?0?0??解: （1）
1???1?x2dx=arctanx??????=limarctanx?limarctanx
x???x???=
（2）（3）
??(?)?? 22?x0=lim(?e)?e=1 x????????0??e?xdx=?e?xxe?x2??00dx=?12???0e?x21?x2?ed(?x)=22??01?x211lim(?e)+= =
x???222（4）
???e111==dxdlnx??e(lnx)2x(lnx)2lnx????e=lim11?=1
x???lnxlne例2 判别无穷积分解: 当p?1时，有
???a1dx的敛散性（a>0） px???a11?p1dxx=
1?pxp???a1?p,??p?1???a????,p?1
p?1当p?1时，有
?于是，当p?1时，无穷积分
??a??1dx?lnxx??a???
?a1a1?pdx收敛，无穷积分（的值）是； xpp?1当p?1时，无穷积分
???a1dx发散. xp例3 判别无穷积分
???2dx的敛散性
x(lnx)p解：当p?1时，有
???2??dlnxdx1=?x(lnx)p?2(lnx)p(1?p)(lnx)p??1?,p?1?(p?1)(ln2)p?1 ???2p?1???,当p?1时，有
???2dxdlnx=?ln(lnx)p?2x(lnx)lnx??????? 21； p?1(p?1)(ln2)于是，当p?1时，无穷积分收敛，无穷积分（的值）是
当p?1时，无穷积分发散.
在上述三例中,无论是求无穷积分的值还是判别无穷积分的敛散性,都是首先求出被积函数的原函数,然后再取极限.显然用这种方法只有被积函数存在初等函数的原函数才
是可行的.如果被积函数的原函数不易求出或不是初等函数,上述方法不能使用.因此,要进一步讨论判别无穷积分敛散性和求无穷积分值的方法.
二、无穷积分的性质
下面讨论的无穷积分总是假设函数f(x)在区间?a,???有定义，且对于任意
p?R,p?a,函数f(x)在?a,p?上可积.
由无穷积分的定义,无穷积分
???af(x)dx收敛?当p???时,函数
paF(p)??f(x)dx存在极限.于是,无穷积分也有柯西收敛准则:
定理1 (柯西收敛准则) 无穷积分
(a?p)
???af(x)dx收敛的充分必要条件是:对于任给正数
?,存在A?a,当p1，p2?A 时，有
?推论1 若无穷积分
p2p1f(x)dx??.
???af(x)dx收敛，则limp??????pf(x)dx?0
证明：根据定理1，???0,?A?a,?p?A与q?A，有
?令q???,即
qpf(x)dx??. f(x)dx??.
??lim?q???qpf(x)dx??或???p推论2 若无穷积分
???af(x)dx收敛,则无穷积分?af(x)dx也收敛.
证明: 根据定理1，???0,?A?a,?p?A与q?A，有
?从而,有
p2p1f(x)dx??
p2?即无穷积分
p2p1f(x)dx??p1f(x)dx??
???af(x)dx收敛.
推论3 无穷积分读者自证.
???af(x)dx收敛??b?a,无穷积分???????bf(x)dx也收敛.
定理2 若无穷积分
?af(x)dx收敛,则无穷积分?cf(x)dx也收敛,
a其中c是常数,且
?定理3 若无穷积分
??a??cf(x)dx=cf(x)dx与
???a??f(x)dx
g(x)dx都收敛，则无穷积分
?a?a??f(x)?g(x)?dx
a??也收敛，且
??f(x)?g(x)?dx=?a????af(x)dx????ag(x)dx
x???定理4 若函数f(x)与g(x)在区间?a,???上存在连续导数，极限limf(x)g(x)存在，且无穷积分
?a??af?(x)g(x)dx收敛，则无穷积分?x?????af(x)g?(x)dx也收敛，有
??a?或
??f(x)g?(x)dx=limf(x)g(x)—f(a)g(a)??f?(x)g(x)dx
???a?f(x)dg(x)?f(x)g(x)?g(x)df(x). a??a??这是无穷积分的分部积分公式.
定理5 若函数f(x)在区间?a,???上连续，无穷积分
???af(x)dx收敛，且函数
x??(t)在??,??严格增加（或减少），存在连续导数，而?(?)?a,?(??0)???，则
?这是无穷积分的换元公式.
例4 求无穷积分K?解：根据定理4，有
??af(x)dx??f??(t)???(t)dt.
???0??0e?xsinxdx
????K??e?xsinxdx=?e?xd(?cosx)=?e?xcosx0??e?xcosxdx
00?????x???edsinx=1??esinx0??e?xsinxdx??=1?K. 0??????=1???x0有 2K=1 或 K?1， 即 2K??e?xsinxdx?0??1 2例5 求无穷积分
????211sindx 2xx解：设
11?t, 则dt??2dx.根据定理5,有 xx