=(u1?u2?u3???un)??v1?v2???vn??An?Bn. 已知limAn?A与limBn?B,有
n??n??limCn?limAn?limBn=A?B
n??n??n??即级数
?(un?1?n?vn)收敛，其和是A?B.
例4 判定级数
?nlnn?1?n的敛散性. n?1n?n??1?nln=limln??ln??1?? limn?1n???n?1??n?n??n?n解: 因为limun=
n??limn??=lne所以级数
?1??1?0
?nlnn?1?n发散. n?1例5 讨论级数
?sin2?的敛散性.
n?1?n解:因为
nsin?=1?0?1?0?1?0?? ?2n?1n?的极限不存在.故此极限发散. 2?而当n??时,通项un?sin例6 利用柯西收敛准则证明调和级数
1111?1??????? ?23nn?1n发散.
证明: 因为
?un?1?un?2???un?p?于是令p=n,有
111????, n?1n?2n?p111???? n?1n?22n11111?????? =n2n2n2n2n21由于上式对任何自然数n都成立,因此只要取??,对任何自然数N,存在自然数n?N及自
2un?1?un?2???un?p?然数p=n,有
un?1?un?2???un?p?1111????. ???n?1n?2n?p2所以不满足柯西收敛准则的条件,故调和级数发散.
第二节 同号级数
定义1 一个级数
?un?1?n,若un?0(n?1,2,?),则称级数
??un?1?n为正项级数; 若
un?0(n?1,2,?),则称级数?un为负项级数. 正项级数与负项级数统称为同号级数.
n?1这一节我们讨论同号级数的敛散性.将负项级数的每一项乘以-1, 负项级数就变成了正
项级数,根据定理2, 负项级数与正项级数有相同的敛散性,因此,对同号级数的敛散性,只要讨论正项级数的敛散性就可以了.
对于正项级数
?un?1?n,它的部分和数列?Sn?是一个非负的单调递增数列.根据数列的单
调有界原理,可直接得到下面的定理.
定理1 正项级数
?un?1?n收敛?它的部分和数列?Sn?有上界.
例1 证明正项级数
11111??????? =?2!3!n!n!n?1收敛.
证明：因为,当n?2时,有
?1111???n?1 n!1?2???n1?2?2???22所以,对任何n,有
Sn=?1111111=1??????1??2???n?1
2!3!n!222n?1k!?1n12=?2?n?1?2. 121?21?因此部分和数列?Sn?有上界,从而级数
?1收敛. ?n!n?1?定理2 (比较判别法) 设
?un?1n与
?vn?1?n是两个正项级数，且?N?N?,?n?N有
un?kvn，k是正常数.
1) 若级数
?vn?1??n收敛，则级数
?un?1??n也收敛.
2) 若级数
?un?1?n发散，则级数
?vn?1n也发散.
证明1）设 级数有
?un?1n与
?vn?1?n的部分和数列分别是?An?与?Bn?，由条件un?kvn，
An=u1?u2?u3???un?kv1?kv2???kvn=kBn（1）
因级数
?vn?1?n收敛，由定理1知数列?Bn?有上界，由不等式（1）知?An?也必有上界，再根
?据定理1知级数
?un?1n也收敛.
?2) 若级数
?un?1?n发散，则数列?An?无上界. 由不等式（1）知?Bn?也无上界,则级数
?vn?1n也发散.
例2 证明级数
?n?1?1n?1?12?13???1n??
发散.
证明：因为对任何自然数n,有
1n??1. n?11又因为调和级数?发散,所以级数?也发散.
nn?1nn?1例3 证明级数证明：由于
an收敛，其中an取1,2,3，?，9中的某一个. ?nn?110?an9?,n=1,2,3,?,9 10n10n?a9又因为级数?n?1,所以由定理2知级数?nn收敛.
n?110n?110?推论 (比较判别法的极限形式)有两个正项级数
?un?1?n与
?vn?1?n（vn?0)，且
lim?un?k(0?k???).
n??vnn1) 若级数
?vn?1?收敛，且(0?k???)，则级数
?un?1??n也收敛；
2) 若级数
?vn?1?n发散，且(0?k???)，则级数
?un?1n也发散.
例4 讨论p—级数
1的敛散性. ?pn?1n解：分两种情况考虑： 1）当p?1时，有
11?， npn?11因为级数?发散，根据定理2，级数?p发散.
n?1nn?1n?2)当p?1时,级数
1,具体证明如下: ?pn?1n1xp?1?首先,作辅助函数f?x??得
,此函数在区间?n,n?1?上连续可导,由拉格朗日中值定理,
1?n?1?或
p?1?1np?1?1?p?n??n?p,0??n?1,n=1,2,?,
1n又因
p?1?1?n?1?1p?1??p?1?1?n??n?p. (2)
?n?1?根据(2)式与(3)式,有
p?1?1?n??n?p (3)
1?n?1?p?1?n??n?p其次,我们证明级数
?1=?p?1???1?1. (4) ?p?1p?1??n?1???n??p?1??n?1??1?1收敛,因为此级数的前n项和是 ?p?1p?1??n?1???nSn=
????1??1?1111??1???????? ??p?1?????p?1p?1p?1p?1p?1?p?1??1?1????1?1??1?2???n?1????n??1?=?p?1??1????, p?1??n?1??1又因p?1,p?1?0,所以有
limSn?n??1p?1limn????11. 1????p?1??n?1??p?1于是,级数
??p?1??n?1??1?1收敛得证. ?p?1p?1??n?1???n最后,根据定理2及不等式(4),知p?1时, p—级数
例5 判别下列正项级数的敛散性. 1)
?nn?1?1p收敛.
?n?1??1?1?, 2) ?, 3) ?ln?1??
?n?n?1n?n!n?1nn2?11???解:1)因为
1nn?1?2??1nn?0?2??1n32.
已知广义调和级数
?n?1?1n32收敛,根据定理2,级数
?n?1?1nn?1?2?收敛.
2)取vn?1,有 n!limn???11n?n!?=0, lim1n??nn!?11已知级数?收敛,所以,级数?也收敛.
n!n?n!n?1n?13) 取vn?1,有 n