limn???1?ln?1??n1n?????ln?1???1 lim1?n?n??n?1?1?已知级数?发散,根据定理2的推论,级数?ln?1??也发散.
?n?n?1nn?1??定理3 柯西判别法（根式判别法）对正项级数
?un?1nn,若?N?N?,n?N,有
1)nun?p <1, (p是常数)，则级数
??un?1?收敛;
2) nun?1,则级数?un发散.
n?1证明：1)因为当n?N时，有
nun?p，或un?pn，
?n又已知几何级数
?p?0?p?1?收敛，于是级数?unn?1n?1?收敛.
2)当nun?1,时,有
un?1,
即un不趋近于0?n???,于是级数
?un?1?n发散.
?推论 （柯西判别法的极限形式）: 有正项级数
?un?1n,若
limnun?l,
n??则1) l?1时,级数
?un?1??n收敛;
2) l?1时,级数
?un?1n发散.
证明：1）取正数k，使0?l?k?1，由已知条件，对正数?0?k?l?0，存在
自然数N，当n?N时，有
nun?l??0?k?l，或?k?l?nun?l?k?l，
于是，当n?N时，有
nun?k?1，
根据定理4，级数
?un?1?n收敛.
2）当l?1时, 存在自然数N，当n?N时，有
nun?1或un?1,
根据定理4，级数
?un?1?n发散.
例6 判别下列正项级数的敛散性. 1）
??lnn?n?1?nn?xn2n, 2）?n （x?0）, 3) ?lnn
n?13n?1n?解：1）因为
limun?limnn??n??nn?lnn?n?limn??n?0?1， lnnn所以级数
??lnn?n?1?nn收敛.
2)因为对任给x?0,有
limnun?limn??n??nxnx??0?1
nnnlimn??xn所以级数?n对所有正实数x都收敛.
n?1n?3) limun?nn??limn??n2n22???2?1. limlnnlnn033n??3n2n级数?lnn发散.
n?13?定理4 达朗贝尔判别法(比值判别法)有正项级数
?un?1?n(un?0),
?un?11) 若?N?N?,?n?N有?q(常数)<1,则级数?un收敛;
unn?1?un?12) 若?N?N?,?n?N有?1, 则级数?un发散.
unn?1证明：1）不妨设?n?N?，有
un?1?q或un?1?unq. unn=1, u2?u1q, n=2, u3?u2q?u1q2, n=3, u4?u3q?u1q3,
?, ?
n=k, uk?1?ukq?u1qk,
?, ?
已知几何级数
?uq?0?q?1?收敛,则级数?uk1k?1n?1??n收敛.
2)已知?N?N?,?n?N,有
un?1?1或un?1?un, un即正数数列?un?从项以后单调增加, un不趋近于0?n???,则级数
??un?1?n发散.
推论 (达朗贝尔判别法的极限形式) 有正项级数
?un?1n(un?0)，且
limn??un?1?l. un1) 若l?1则级数
?un?1?n收敛；
?2) 若l?1则级数
?un发散.
n?1证明:1)?q:l?q?1.由数列极限定义,
??0?q?l?0,?N?N?,?n?N,有
un?1u?l?q?l或un?1?qnu?1.
n?根据比值判别法,级数
?un收敛.
n?12)已知l?1根据数列极限的保号性,
?N?N?,?n?N,有
un?1u?1. n?根据比值判别法,级数
?un发散.
n?1例7 判别下列正项级数的敛散性. ?1）
?nn?2??n!?5n?， 2) n?11n?1?1nn, 3) ?n?1n5, 4) ?nxnn?1解：1）
limun?1n??u?nlimn?1n1n?11n??2n2n?1?lim??1, n??2n2?所以,级数
?nn?12n?1收敛.
n!n2)
limun?1n??u?lim(n?1)!n???n?1?n?1nnn?lim??n?? n???n?1?=
lim1?1n????1?ne?1， ?1?n??所以,级数
??n!n?1nn收敛. 13)
limun?15n?5nn??u?limn???n?5nn5?lim5(n)51??5n??n?1?1, x?0)
(5n所以,级数?5发散.
n?1n?4)
limn??un?1?n?1?xnn?1?lim?x?x, limn?1unnnxn??n??根据比值判别法的推论,当0?x?1时,级数收敛,当x?1时,级数发散.
定理5 积分判别法：如果f?x?在?N,???上非负且单调减少，其中N是某个自然数，
n?N，那么级数?f?n?和积分?n?N???Nf?x?dx同时敛散.
证明: 因为f?x?在?N,???上单调减少,所以
?n?1N?1f?x?dx??k?N?1?f?k???f?x?dx.
Nnn由于f?k??0,f?x??0,故级数上式当n??时可变成
?f?k?和积分?k?1??Nf?x?dx或者收敛或者取值??.因此,
????N?1f?x?dx???k?N?1?f?k??????Nf?x?dx.
由此可见,级数
n?N?f?n?收敛??Nf?x?dx收敛.
例8 讨论
?nlnn?2?1qn的敛散性，其中q?0.
解：取f?x??1,它在?2,???上非负且单调减少,由于 qxlnx????dlnx??dtdx?2xlnqx??2lnqx??ln2tq ?t?lnx?,
可见,上述积分当q?1时收敛;当q?1时发散.根据积分判别法, 级数
1也在?qn?2nlnn?q?1时收敛;在q?1时发散.
第三节 一般项级数
本节讨论一般项级数,即变号级数,也就是级数
?un?1?n既有无穷多个正项,又有无穷多个