011=sindx???2x2x??2sintdt??02sintdt??cost2?1
0三、无穷积分敛散性的判别法
????1、非负函数无穷积分收敛的判别法
定理6 （非负函数无穷积分判别法）无穷积分条件是：存在正数M，对一切u?a，有
???af(x)dx，f(x)?0收敛的充分必要
F(u)??f(x)dx?Mau
故F(u)f(x)dx是单调递增函数，
证明：由于f(x)?0,x??a,???，所以函数F(u)?收敛的充要条件是函数F(u)在?a,???上有界，即
?uaF(u)??f(x)dx?M
au定理7 （比较判别法）设定义在?a,???上的正值函数f(x)与g(x)在任何区间
?a,u?(u?a)上都可积，若存在正数c(c>a)及k,当x>c时，有
f(x)?kg(x)， k>0，
?i? 当?a??g(x)dx收敛时，???af(x)dx也收敛；
?ii? 当?a??f(x)dx发散时，?g(x)dx也发散.
a??证明：?i? 若
???ag(x)dx收敛，则?kg(x)dx也收敛.又因kg(x)?0,根据定理6,存在
a??M>0,对一切u>c, 有
?uckg(x)dx?M,由条件当x>c时, f(x)?kg(x),所以当u>c时,有
?所以, 无穷积分
ucf(x)dx???a?uckg(x)dx?M
???cf(x)dx收敛,从而?f(x)dx也收敛.
?ii? 是?i?的逆否命题,所以成立.
例6 判别
?5??5dxx?1?61的收敛性
解：显然，
1x?1615x6，由于
???5dxx61收敛，
因此，
???5dxx?161收敛.
例7 设f(x),g(x)是?a,???上的非负连续函数, 证明: 若
???af2(x)dx和?g2(x)dx收敛,则?a????af(x)g(x)dx收敛.
f2(x)?g2(x)证明： 由于 f(x)g(x)?, 而
2?因此,
??a1??1??f2(x)g2(x)dx=?f2(x)dx??g2(x)dx收敛,
2a2a2???af(x)g(x)dx收敛.
推论4 若f(x)?0,g(x)?0，且则 ?i? 当
??limx???f(x)?L， g(x)??a0?L???时，???af(x)dx与?g(x)dx同时收敛或同时发散.
??a?ii? 当L=0, 且?ag(x)dx收敛时,则???f(x)dx也收敛;
??a?iii?当L=??,且?a证明：?i?由假设
g(x)dx发散时, 则?f(x)dx也发散.
limx???Lf(x)?L>0，对??，总存在c>a,当x?c时，有
2g(x)Lf(x)Lf(x)L?L?， ?L?或??2g(x)2g(x)2即
Lf(x)3L?? ?1? 2g(x)2又因为g(x)>0，故当x?c时，有
L3Lg(x)?f(x)?g(x). 22若
???ag(x)dx收敛,由?1?式,当x?c时,有 0?f(x)?3Lg(x). 2根据比较判别法,无穷积分若
???af(x)dx也收敛.
Lg(x)?f(x), 2???af(x)dx发散,由?1?式, 当x?c时，有0?根据比较判别法,无穷积分
???ag(x)dx也发散.
?ii? 由limx???f(x)f(x)?0,存在c>a, 当x?c时，有 0??1, g(x)g(x)即, 0?f(x)?g(x). 根据比较判别法,若
???ag(x)dx收敛时,
???af(x)dx也收敛.
?iii? limx???f(x)???, 必存在c>a, 当x?c时，有 g(x)f(x)?1 或 f(x)?g(x). g(x)根据比较判别法, 若
???ag(x)dx发散时,
???af(x)dx也发散.
推论5 设f(x)?0，且
x???limxpf(x)?L，
则 ?i? 当0?L???，p>1时，
???af(x)dx收敛；
???ii? 当0?L???， p≤1时, ?a证明：?i? 令x?pf(x)dx发散.
??111dx收敛， 或g(x)?p，由例2，当p>1时，?paxxg(x)根据推论4,当0?L???时，
???af(x)dx收敛.
1dx发散,再根据推论4, px?ii? 由例2, p≤1时, ?a当0?L???时,
例8 证明
?????a2f(x)dx也发散.
???0e?xdx收敛.
2?x2证明：因为limxex????limx2ex2x????0，根据推论5，
无穷积分
???0e?xdx收敛.
2例9 证明
???dxx1?x21收敛.
证法1：当x>1时，有
0???1x1?x2?1 x2由于，
?1??1dxdx收敛，根据比较判别法，也收敛. 2?12xx1?x证法2： 令f(x)?1x1?x2?x211?1x2 ，x>1，
于是，
x???limx2f(x)?lim11?12xx????1.
根据推论5,
???dxx1?x21收敛.
2、一般函数无穷积分收敛的判别法.
定义2 若无穷积分若无穷积分
???af(x)dx收敛，则称无穷积分???a??af(x)dx绝对收敛.
??a???af(x)dx收敛,而?f(x)dx发散, 则称无穷积分?f(x)dx条件收敛.
定理8 (狄利克雷判别法) 若F(u)?当x???时,单调趋于0,则
证明： 设u??a,???,
?uaf(x)dx在?a,???上有界, g(x)在?a,???上
????af(x)g(x)dx收敛.
x???uaf(x)dx?M,???0,由于, limg?x??0,
故,?G?a,x?G时, g?x???4M. 因为g为单调函数,由积分第二中值定理,对 任意的
u2?u1?G,????u1,u2?, 使得
?于是,
u2u1u2u1f?x?g?x?dx?g?u1??f?x?dx?g?u2??f?x?dx
u1?u2??f?x?g?x?dx?g?u??f?x?dx?g?u???f?x?dx1u112?u2
u2=g?u1?<
?f?x?dx??f?x?dx?g?u??f?x?dx??f?x?dx
a1a2aa?u1??4M2M??4M2M??
因此,由柯西准则,
???af(x)g(x)dx收敛.
定理9 （阿贝尔判别法） 若
???af(x)dx收敛，g(x)在?a,???上单调有界，则
???af(x)g?x?dx收敛.
证明：因g(x)在?a,???上单调有界，故存在A，使
x???limg?x??A
令 g1?x??g?x??A，则g1?x?在?a,???上单调趋于0. 又因
???af(x)dx收敛, 故
F(u)??f(x)dx在?a,???上有界,由狄利克雷判别法,
au?a??af(x)g1?x?dx收敛,
所以,
?例10 讨论
??a??f(x)g(x)dx=???af(x)g1?x?dx+A???f(x)dx 收敛.
?1??cosxsinxdxdx （p>0）的收敛性. 与pp?1xx解：当p>1时，
???1??sinx1sinx1dxdx绝对收敛. 收敛，由于?p， 因此，?ppp1xxxx若0?p?1, 则当u?1时,
?u1sinxdx?cos1?cosu?2
1而p单调趋于0, 因此, 由狄利克雷判别法知, x???1sinxdx收敛.另一方面, xpsinxsin2x1cos2x, x??1,???, ???px2x2xx其中,
???1cos2x1??costdx??dt 满足狄利克雷判别法的条件,是收敛的. 2x22t而,
???11dx发散, 因此, 2x?????1sinxdx发散. pxsinx?1xpdx条件收敛;
??sinxdx绝对收敛. 当1?p???时, ?1xp??cosxdx条件收敛; 类似可证, 当0?p?1时, ?1xp??cosxdx绝对收敛. 当1?p???时, ?p1x总之, 当0?p?1时,