定义4 若级数
?un?1?n收敛，其和是S，而s-sn表为rn即
?nrn?S?Sn??uk??uk?un?1?un?2??，
k?1k?1称为收敛级数
?un?1?n的n项余和，简称余和.显然，有limrn?lim(S?Sn)?0.其中
n??n??a?0,r是公比.
例1 讨论几何级数
?arn?1?n?1?a?ar???arn??
的敛散性.其中a?0,r是公比.
解：1）当r?1时，已知几何级数的前n项和sn是
sn=?ark?1nn?1?a?ar???arn?1a?1?rn?=， 1?r这时，有
?i? 当r?1时，因为limrn?0，所以
n??limSn?limn??n???aarn???1?r?1?r?? ??=
limn??aaan?r=. lim1?r1?r1?rn??因此，当r?1时，几何级数收敛，其和是
a,即 1?r?arn?1?n?1?a 1?r?ii? 当r?1时，因为limrn??，所以
n??limSn?limn??n??a?arn??，
1?r因此，当r?1时，几何级数发散. 2)当r?1时,也分两种情形讨论:
?i?若r=1, 级数的前n项和是
sn=a?a???a?na,
因为a为非零常数,所以limSn?n??limna??,因此,当r=1时, 几何级数发散.
n???ii?若r=-1, 几何级数变成为
a?a?a?a?a?a??,
其前n项和是
sn=???1?a?k?1k?1n?1???1??n?12?a,a????0,?nn为奇数 nn为偶数 因此,当r=-1时, 几何级数也发散.
综上所述，当r?1时，几何级数收敛，其和是例2 证明级数
a，当r?1时，几何级数发散. 1?r1111??????? ?????nn?11?22?3nn?1n?1收敛，并求其和.
证明：因为对任何n，有
?11??1????，
n?n?1??nn?1?所以，sn=
1111?????
?n?1?nn?n?1?1?22?3=?1?=1?从而有
??1??11?1??11??1???????????????
2??23??n?1n??nn?1?1， n?11??limSn?lim?1???1. n??n?1?n???故级数收敛, 其和是1.
例3 证明级数
?nrn?1?n?1?1?2r?3r2???nrn?1??， r?1
收敛，并求其和.
证明：因为
Sn=?krk?1?1?2r?3r2???nrn?1， （3）
k?1?对（3）式两边同乘以r，得
rSn=
?krk?1?k?r?2r2?3r3???nrn （4）
由（3）式两边分别减去（4）式两边，得
Sn- rSn=1?r?r2?r3???rn?1?nrn
1?rn?nrn， （5） =
1?r由（5）式得
1?rnnrn. Sn=?2(1?r)1?rn又因r?1时, limnr?0,所以有
n??limSn?limn??n???1?rnnrn???? 2??1?r?1?r?2=
lim?1?r??limn??n??1?rnnrn1, ?21?r?1?r?故级数收敛, 其和是
1?1?r?2.
二、收敛级数的性质
定理1 （柯西收敛准则） 级数
?un?1?n收敛????0,?N?N?,?n?N,?p?N?,有
un?1?un?2???un?p??.
根据定理1的必要性,若级数
?un?1?n收敛,则???0,?N?N?,?n?N,取p=1,有
un?1??,于是,有
推论1 若级数
?un?1?n收敛，则limun?0.
n??推论1的等价命题是，若limun?0，则级数
n???un?1?n发散.
例如,级数
123nn??????? =?101201301100n?1100n?1n?1因为, limun?limn???n1?0, =
n??100n?1100所以级数
n发散. ?n?1n?1100?注: limun?0仅是级数
n???un?1?n收敛的必要条件而不是充分条件,即limun?0,级数
n???un?1?n也可能发散.
??推论2 若去掉、添加或改变级数
?un?1n的有限项,则不改变级数
?un?1n的敛散性.
例如,去掉发散级数
1的前面100项,而级数 ?n?1n?1111??????? ?100?n101102100?nn?1仍是发散的.
定理2 若级数
??un?1?n收敛,其和是S,则级数
?cun?1?n?cu1?cu2???cun??也收
敛,其和是cS,其中c是常数(c?0).
证明：设级数
?un?1?n与
?cun?1?n的n项部分和分别是sn与?n，有
?n=cu1?cu2?cu3???cun?c?u1?u2???un??csn.
已知limSn?S,有
n??lim?n?limcsn?cs,
n??n??即级数
?cun?1?n收敛,其和是cS.
定理2的结果可改写为
?cun?1?n=cS=c
?un?1?n,
即收敛级数(无限个数的和)满足数(非零)的分配律.
定理3 若级数
?un?1?n收敛,其和是S,则不改变级 数每项的位置,按原来的顺序将某
些项结合在一起,构成的新的级数
(u1???un1)?(un1?1???un2)???(unk?1???unk)?? (3)
也收敛,其和也是S.
证明: 设级数
?un?1?n的n项部分和是sn,新级数 (3)的k项部分和是?k,有
?k=(u1???un)?(un?1???un)???(un???un)
112k?1k=u1?u2?u3???unk?snk
即新级数 (3)的部分和数列??k?是级数
?un?1?n的部分和数列?sn?的子数列.已知
limSn?S,则lim?k?S.于是, 新级数 (3)收敛, 其和也是S.
n??k??定理3说明:收敛级数(无限个数的和)满足结合律.
注:一个级数的项经过结合之后构成的新级数收敛,去掉括号之后的级数(即原级数)不一定收敛.例如,级数
?1?1???1?1?????1?1???
收敛于0,但去掉括号之后的级数
1?1?1?1???1?1??
却是发散的.
定理4 若级数
???un?1n与
?vn?1n都收敛.其和分别是A和B, 则级数
?(un?1?n?vn)?(u1?v1)?(u2?v2)??+(un?vn)??.
也收敛.其和是A?B.
证明: 设级数
?u,?vnn?1n?1??n与
?(un?1?n?vn)的n项部分和分别是An，Bn，Cn，有
Cn=?(uk?vk)?(u1?v1)?(u2?v2)???(un?vn)
k?1?