负项.
一、交错级数及其收敛判别法
定义1 级数
????1?n?1n?1un?u1-u2+u3-u4+?+??1?un+?，un?0，
n?1称为交错级数.
判别交错级数的收敛性有下面的判别法:
定理1 (莱布尼茨判别法)有交错级数
???1?n?1n???n?1un,?un?0?,若
1）?n?N?,有un?un?1; 2）limun?0.
则交错级数
???1?n?1n?1?n?1un,?un?0?收敛，且rn?S?Sn?un?1，其中S,Sn与rn分别是交
错级数
???1?n?1?un的和，n项部分和与余和.
n?1???1un的前n项和数列,下面我们分别考察?Sn?的两?n?1?证明:用?Sn?表示交错级数
个子列?S2n?与?S2n?1?的极限.
首先,讨论子列?S2n?,当n?2时,有
S2n=(u1?u2)+(u3?u4)+?+(u2n?3?u2n?2)+(u2n?1?u2n)
S2n?2=(u1?u2)+(u3?u4)+?+(u2n?3?u2n?2)
于是,有
S2n-S2n?2=u2n?1?u2n.
由un?un?1知?Sn?的子数列?S2n?单调递增.
另一方面,
S2n=u1-u2+u3-u4+?+u2n?1?u2n
=u1-(u2-u3)-(u4-u5)-?-(u2n?2?u2n?1)?u2n.
因为右端括号里的每一项都非负,所以
S2n?u1,
因此子列?S2n?有界,根据单调有界原理, 子列?S2n?数列.设
limS2n?S. (1)
n??其次,由S2n?1=S2n+u2n?1及limu2n?1?0,得
n??limS2n?1=limS2n+limu2n?1?S. (2)
n??n??n??(1)、(2)两式表明,数列?Sn?的偶次项与奇次项不仅都收敛,而且极限相同,所以数列
?Sn?也收敛,其极限是S,即
limSn?S.
n??故级数
n?1???1un收敛. ?n?1?例1 讨论级数解：因为
n?1???1?n?1?1的敛散性.
?2n?1?!11?,n?1,2,3,?,
?2n?1?!?2n?1?!且
limn??1?0
?2n?1?!根据定理1,交错级数
n?1???1?n?1?1收敛.
?2n?1?!例2 讨论级数解:因为
n???1?n?1?n的敛散性. n33n?n?1,n?1,2,3,?,
所以
3nn?1nn?1??或, n?1n?1nn?13333又因
limn???nnn?0??,根据定理1,交错级数收敛. ?1?n3n3n?1二、绝对收敛与条件收敛
定义2 若级数
?un?1?n收敛，则称级数
?un?1?n绝对收敛；若级数
?un?1?n收敛，而级数
?un?1?n却发散，则称级数
?un?1??n条件收敛.
定理2 若级数
?un?1n收敛，则级数
?un?1?n也收敛.
证明：已知级数
?un?1?n收敛，根据级数的柯西收敛准则，???0,?N?N?，
?n?N,?p?N?，有
un?1+un?2+?+un?p??.
从而,有
un?1?un?2???un?p?un?1+un?2+?+un?p??,
即级数
?un?1?n收敛.
??注:这个定理的逆命题不真,即若级数
?un?1n收敛,但级数
?un?1n不一定收敛.例如,虽然
??11n1级数???1?收敛,但级数???1?=?却发散.
nnn?1nn?1n?1?n例3 讨论下列变号级数的绝对收敛性：
?1）
?n?1??1??n?n?1?22n； 2）
?n?1?sinn4； 3）??1?
?n2nn?1?n?解:1)
?n?1??1?n?n?1?22n=?111111?2?3?4?5?6?? 222222?n?N?，有
??1?n?n?1?22n??=
1。 n2n?n?1?2已知正项级数
??1?1收敛，根据定理2，级数??n2nn?1n?12收敛，且绝对收敛.
2)
?n?1?sinn22224=2+1+2-2-2-?
122321n252??n?N?，有
sinn?4?1.
n2n2?1已知正项级数?n收敛，根据定理2，级数?n?1n?12?sinnn2?4收敛,且绝对收敛.
3) ?n?N?,有
?1n??1n?1,且
limn??1n1n?0.根据莱布尼茨判别法,(交错)级数
?n?1??1?n收敛.而正项级数
n???1?n?1n1n=
?n?1?=
?n?1?1n12(p级数, p?1?1)发散,从而2级数
?n?1???1?n条件收敛.
n判别级数
?un?1?n的绝对收敛可归结为判别正项级数
?un?1?n的收敛,判别变号级数
?un?1?n的条件收敛,有下面两个判别法.这两个判别法要用到一个引理,通常称为阿贝尔变换.
引理 （阿贝尔变换）设ak与bk(k=1，2，?,n)是两组数，Bm??b（m?1,2,?n）.
kn?1?若a1?a2???an?0,且?M?0,m?1,2,?,n,有Bm?M,则
a1b1?a2b2???anbn??abk?1n??nkk?a1M.
定理3 (狄利克雷判别法) 若数列?an?单调减少,liman?0且级数列?Bn?有界,即?M?0,?n?N?, 有
?bn?1?n的部分和数
Bn?b1?b2???bn?M,
则级数
?abn?1?nn收敛.
证明：?n,p?N?，有
bn?1?bn?2???bn?p?Bn?p?Bn?Bn?p?Bn?2M.
根据引理,有
an?1bn?1?an?2bn?2???an?pbn?p?an?1?2M.
已知liman?0,即???0,?N?N??n?N,有
n??an??或an??
于是, ???0,?N?N?,?n?N,?p?N?,有
an?1bn?1?an?2bn?2???an?pbn?p?an?1?2M?2M?.
根据柯西收敛准则,级数
?abn?1?nn收敛.
不难看到，判别交错级数
n?1???1un,?un?n?1??0?收敛的莱布尼茨判别法只是狄利克雷判
?别法的特殊情况.事实上,若数列?un?单调减少,且limun?0,而级数
n?????1?n?1n?1的部分和
数列?Bn?有界,即
n是奇数 ?1,?Bn?? Bn?1
?0,n是偶数 ?根据狄利克雷判别法，交错级数
???1?n?1?n?1un,?un?0?收敛.
定理4 （阿贝尔判别法） 若数列?an?是单调有界，而级数收敛.
?bn?1?n收敛.则级数
?abn?1?nn证明：若数列?an?单调减少有下界,则数列?an?收敛,设liman?0.从而数列?an?a?n??是单调减少的,且lim(an?a)?0.已知级数
n???bn?1?n收敛,则它的部分和数列必有界.根据狄
利克雷判别法,级数
?(an?1?n?a)bn收敛.已知级数?abn收敛.再根据前面定理,级数
n?1?