第二节 瑕积分的性质与敛散性的判别
一、瑕积分的概念
本节讨论无界函数的积分，即瑕积分.若函数f(x)在点b的任意领域无界,则称b是函数f(x)的瑕点.例如:?1?a是函数f?x??1的瑕点. ?2? -1和1都是函数x?ag?x??ln1?x2的瑕点.
f?x???,取??0称极限 定义1 设函数f(x)在区间?a,b?上连续,而lim?x?b??lim???0?b??af(x)dx
为函数f(x)在区间?a,b?上的反常积分(瑕积分).记作
?baf(x)dx,即
?若此极限存在,称反常积分散. 发散时仍用记号
类似可定义:
babf(x)dx=lim??0??b??af(x)dx
b?af(x)dx收敛. 若此极限不存在,则称反常积分?f(x)dx发
a?baf(x)dx表示.
b?其中x?a为瑕点,
af(x)dx=lim??0??ba??f(x)dx
c??b?baf(x)dx=?f(x)dx+?f(x)dx=limaccb??0??baf(x)dx+lim??0??c??f(x)dx
其中x?c为瑕点,
当上式右端的两个反常积分都收敛时,称反常积分
例1 求下列瑕积分
?af(x)dx收敛,否则发散.
?1??0111?x2dx ?2??11?x11?x2211dx?? 3?0lnxdx ?1x21解：?1? x?1为被积函数
的瑕点, 有
?111?x20dx=lim??0??1??01??arcsinxdx=lim0 ???0arcsin?1???=arcsin1?=lim???0?2
?2?
x?0是为被积函数
1的瑕点, 则 2x01111dxdx=+??1x2??1x2?0x2dx=lim??0?1?0???11dx+lim2x??0???11dx 2x=lim?????0?1???x????1??0+lim????1??1??1?+?1lim????1?=?? ?=lim????0??0???????x?1??3?x?0是为被积函数lnx的瑕点, 则
lnxdx=lim?xlnx?x?? ??lnxdx=lim???1110?0??0???1??ln????=-1. =lim???01?1xlnxdx的敛散性.
1解：x?1为被积函数的瑕点, 有
xlnx例2 判别瑕积分
2?211dx=limxlnx??0???1?21dx=lim ln?lnx???0?xlnx1??2?ln?ln2??ln?ln?1?????=??. =lim???0即, 瑕积分
?211dx发散. xlnx例3 判别瑕积分
??x?a??的敛散性 （a abdx解：当??0时，a是被积函数当??1,有 ?0???b?a?, 1?x?a??的瑕点. ??x?a??lim???x?a???abdx= bdx?0a?=lim??0?x?a?1??b 1??a???1????b?a????1???=lim??01????b?a??1?????1??,???????,??1 ??1当??1,有 ?0???b?a? ?badx=limx?a??0?ba??dx=limln?x?a?x?a??0b a??=lim?ln?b?a??ln?????. ??02于是,当??1时,瑕积分当??1时, 瑕积分 2?11?b?a?dx收敛,其瑕积分(的值)是xlnx1??1??; 1?1xlnxdx发散. 二、瑕积分的性质与收敛判别法 瑕积分的性质与收敛判别法与无穷积分的性质与收敛判别法相类似，因此，下面只给出瑕积分的性质与收敛判别法的几个重要结果，并举例加以应用，再不进行重复论证. 定理1 （柯西收敛准则）瑕积分 ?baf(x)dx（a为瑕点）收敛的充要条件是：对任给 的正数?,存在正数?,当a?u1?a??,a?u2?a??时，有 ?推论1 瑕积分瑕积分 u2u1f(x)dx??. ?baf(x)dx收敛的充要条件是：对任何c??a,b?， ?caf(x)dx收敛. 推论2 若瑕积分 ?baf?x?dx收敛，则瑕积分?f(x)dx收敛. ab定理2 设正值函数f(x)在包含于?a,b?内的任何闭区间上都可积，则瑕积分 ?baf(x)dx收敛的充要条件是：存在正数M，对任何u??a,b?，有 ?（u>a）上可积，且 buf(x)dx?M. 定理3 （比较原则）设定义在?a,b?上的正值函数f(x)与g(x)在任何区间?u,b?f?x??kg?x?,k?0 则 ?i?当瑕积分 ?bag(x)dx收敛时，瑕积分?f(x)dx也收敛； abb?ii?当瑕积分?af(x)dx收敛时，瑕积分?g(x)dx也收敛. ab推论3 设f?x??0,g?x??0，且 limx?a?f(x)?L g(x)ba则 ?i? 当 0?L???时，瑕积分?f(x)dx与?g(x)dx同时收敛或同时发散； abbb?ii? 当L=0, 且瑕积分?ag(x)dx收敛时,则?a?iii?当L=??,且?ag(x)dx发散时, 则?a推论4 设f?x??0,且 bbf(x)dx也收敛; f(x)dx也发散. x?alim?xpf(x)?L， 则 ?i? 当0?L???，0?p?1时， ??babf(x)dx收敛； f(x)dx发散. x ?ii? 当0?L???， p?1时, a利用x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1+x) ～e-1 (x?0)，可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性. 以上判别法都是以a为瑕点的情形给出,读者不难仿此给出以b为瑕点的判别法. 例4 判别瑕积分 ?1dxsinx0的敛散性. 解: x?0是为被积函数 1sinx的瑕点, 由 limx?0?x121sinx?limx?0?x=1 sinx根据推论4, 瑕积分 ?1dxsinx?0收敛. 例5 判别瑕积分 ?20ln?sinx?dx的敛散性. x34解: x?0是瑕点, 由 x根据洛比达法则,有 ln?sinx?x?ln?sinx?x?14, limx?0?ln?sinx?x?14?limx?0?1cosx1xsinx4??4xcosx=0 lim5??sinx1x?0?x44根据推论4,这个瑕积分收敛. 第十章 数项级数 无穷级数的理论不仅是研究函数的一个重要工具，而且对微积分学的进一步发展及讨论微分方程的解都是十分重要的. 第一节 数项级数的敛散性 一、级数收敛与发散的概念. 定义1 把一个数列?un?: u1,u2,u3,?,un,? 的项依次用加号连接起来,得到表达式: u1?u2?u3???un?? （1） 简写为即 ?un?1?n, ?un?1?n=u1?u2?u3???un?? 称为无穷数项级数,简称级数,其中u1,u2,u3,?,un,?称为级数(1)的项,un为级数的第n项或通项. 定义2 设级数(1)前n项的和是Sn,即 Sn?u1?u2?......?un或Sn??un，n?1?称Sn为级数(1)的n项部分和.当n趋于无限大时,可构造出另一个无穷数列?Sn?,即 S1, S2 ,S3 ,?, Sn ,?, （2） 定义3 若级数(1)的部分和数列（2）收敛,并设 limSn?S, n??则称级数(1)收敛.其和为S,记作 ?un?1?n?S,即 n?un?1?n?limn??k?1?uk?limSn?S. n??若部分和数列（2）发散，则称级数（1）发散.此时级数（1）没有和.