[社会科学中的数学课程论文]
如图所示，在方形两个棱上均加一条棱，就可以消除所有的奇价顶，但是我们可以发现这两个添加的棱中有一个是跑空棱，因此我们可以消掉一个跑空棱，即：
此为我们要找的最优解。
八、推销员与网络
1.课本知识梳理：
哈密顿回路：一条回路，起止于同一点，但经过每个顶点一次，且只有一次。
Tips：（1）并不是每一个图都能找到一条哈密顿回路来；（2）一旦找到了一条哈密顿回路，则这条回路不一定经过每一条棱，这说明哈密顿回路与欧拉回路一般来说并没有什么关系。 迪拉定理：一个图有n个顶，若每个顶的价数至少是n/2，则这个图一定有哈密顿回路。 波萨定理：（详见书131） 奥尔定理：（详见书132） 雪佛他定理：（详见书132）
树法：实际上，这种方法就是把一切可能的哈密顿回路进行比较的笨办法。
短棱法：此法的要点是，当旅行家到达某一顶时，他的下一个选择对象是与他最靠近而又从未到过的顶。
消棱法：把图中所有权数按递增次序排列成序，在每一步选取最短棱的同时，逐步消去一些棱，以得到一条哈密顿回路。
Tips：消棱原则两条，（1）不能使三条棱集结于一点；（2）不能构成一个还没有包括所有顶的回路。 极小母树法（克鲁斯卡算法）：从权数表中取出一组个数最少的最低价棱，要求这些棱既不能构成任何回路，同时使每一项属于某一棱。
2.讨论：
其实我们平时有参加过一种户外拓展的娱乐项目——定向越野，在限定的时间内，到地图上所标识的相应的点，然后完成相应任务，至于去这些点的顺序可以自己调整。因此这个可以说是我们娱乐生活中相关“推销员与网络”的一个完全吻合的例子。那么如何在最短的时间内，跑的路线最
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少的情况下从出发点出发，经过每一个点，完成任务呢？这个问题实际就是问怎么确定哈密顿回路，考验我们在生活中的利用。
假设就上图四个点，从1出发，回到1。
上图为路线图，我们采取克鲁斯卡法，取出一组个数最少的低价棱。并注意使它们不构成任何
的回路。
由此可以得到这样一条路线，由于我们一开始说要回到1点，所以最终路线图应当如下所示。
所以，这就是这个定向越野的最佳路线。如果能确定这条路线，则可以在最短的时间内，跑的路线最少的情况下从出发点出发，经过每一个点，完成任务了。
九、配料与利润
1.课本知识梳理：
线性不等式：指那些线性的不等式。
线性函数：指那些线性的函数，但也常用作一次函数的别称，尽管一次函数不一定是线性的（那些不经过原点的）。
线性规则（linear programming）：线性规则：1、一般是指找出其变量受线性控制的一个线性函数最大或最小值的程序。2、在生产中，指在一组材料的特征及一组成品产品价格均既定的条件下，表明这些材料如何组合才能取得最大利润的方法。
线性规划：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理
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和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。
单侧原理：在a，b和c都是正数的情况下，不等式ax+by 角点原理：配料问题的利润函数P，对多边形的可取区域而言，常在其角点上取最大值。 Tips：配料问题求解的全部过程如下： （1） 将问题翻译成数学形式，即写出所有的约束条件（包括原料、时间、自然等约束条件）； （2） 写出问题的利润函数； （3） 求出所有来自约束条件的直线方程的两两交点，并根据单侧原理和公共区域原理画出问题的 可取区域； （4） 列出所有角点； （5） 计算利润函数在这些角点的值； （6） 顶出使利润函数达到最大值的角点，这个最大值便是最大利润值，角点的两个坐标便是问题 的解。 2.讨论： 其实在中学时期，我们就经常做此类习题，当时我们称其为线性代数，极值问题等。就是给一系列不等式以及根据应用问题列出一个利润等式，然后画一个象限坐标图，在坐标图上找到相应的点。然后用利润等式计算每一个极点的值，从而取出最大值的点。 因此这个问题对于我们来说并不陌生，此类问题经常运用于工商业等方面。比如说，给出几种产品的成本价，然后给出其卖价，从而可以得出利润值，列出相应的等式。然后再给出各种产品的配料，以及现在手头所有的配料清单，问如何在用这些配料制作产品，从而得到最大利润，问AB产品应当各生产多少个。这是一道典型的配料问题的求解，也是我们练习过很多遍的问题，相信大家都不会陌生。 但是现在要说运用计算机技术来解放人力劳动，解决这些相应问题，确实是我们之前所没有过的尝试。我在网上搜索，一般使用LINDO来解决此类问题建模，LINDO是一个解决二次线性证书规划问题的方便而强大的工具。 并且我在网上也有找相关的案例和一些用LINDO解决问题的方法，但是由于没有找到合适的LINDO破解版下载，所以并没有下载成功，本来是想自己实际操作一下，解决应用问题，不过软件找不到，所以没能实施。 最终确定用lingo解决。用作业题的最后一题为例。 在我们没有考虑市场需求是，为获得最大利润，利用lingo求解过程如下： 模型： Model1: max=3*x+4*y; 0.75*x+0.5*y<=2000; 0.25*x+0.5*y<=1000; !2*x<=y; @gin(x); 13 [社会科学中的数学课程论文] @gin(y); End 求解如下： Global optimal solution found. Objective value: 10000.00 Objective bound: 10000.00 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X 2000.000 -3.000000 Y 1000.000 -4.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 10000.00 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 所以：此时生产2000L“老头乐”，1000L“娃娃乐”利润最大，最大利润为10000.00元。 但是，从常识看来，老人对这种饮料的需求不会多余小孩，因此上述生产分配是不合理的，极可能使 “老人乐”供过于求，导致市场价格走低，或者产品滞销，同时“娃娃乐”产量不足导致利润流失。所以应当考虑到市场需求对我们生产的指导作用，现在假设市场对“老人乐”和“娃娃乐”的需求比例小于1:2。 模型构建如下： Model2: max=3*x+4*y; 0.75*x+0.5*y<=2000; 0.25*x+0.5*y<=1000; 2*x<=y; @gin(x); @gin(y); End 求解如下： Global optimal solution found. Objective value: 8800.000 Objective bound: 8800.000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 14 [社会科学中的数学课程论文] Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X 800.0000 -3.000000 Y 1600.000 -4.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 8800.000 1.000000 2 600.0000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 所以：在符合假定市场规律的前提下，我们应该生产800L“老人乐”和1600L“娃娃乐”以获得最大利润，此时最大利润为8800.00元。 这就是用lingo做的线性代数的最优解。 第三篇 统计（数字的艺术） 一、形状、匹配与人口 1.课本知识梳理： 形状结论： （1）如果要改变物体的比例，就得改变物体的质量或形状。 （2）坠落：体积增大，从同一高度坠落的危险也增大。 （3）潜水：潜水时间应当与肺部的体积与肺部的面积的比值成正比。 （4）跳高：弹跳能力与肌肉的体积按比例相匹配。 （5）飞行：驻留在空中飞行所必需的能量正比于翅翼负荷，也就是说，取决于重量与翅膀面积的比。 人口问题结论： （1） 数学上把单利计息成为线性增长，复利计息称为指数增长。 （2） 马尔萨斯人口模型： （3） 生物繁衍到一个水平时，由于没有足够的能量源供应新的成员，一定要停止再行繁衍下去。 （4） 环境容量：那个环境能源能够支撑的极大生物幅员，记为M。 （5） 因此马尔萨斯中的增长率r应为r（1-生物幅员/环境容量）=r（1-P0/M），将这个r带入马尔 萨斯人口模型公式中就可以得到Logistic模型。 （6） Logistic模型也不是一个理想的描绘人口结构的模型。 15