第五章 定积分
一、基本要求及重点、难点
1. 基本要求
（1）理解定积分的概念和几何意义；了解函数f(x)在[a,b]上可积的充分条件。 （2）掌握定积分的性质和积分中值定理。 （3）掌握定积分上限函数的求导方法及其应用。
（4）熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部积分法。
（5）了解定积分的近似计算法。
（6）理解反常积分的概念，掌握无穷限的反常积分及无界函数的反常积分的计算，会判断其敛散性。
2. 重点及难点
（1）重点：定积分上限函数的求导及应用；定积分的换元法。 （2）难点：利用定积分的换元法证明有关等式。
二、内容概述
1.定积分的概念和性质
（1）定积分定义：
设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点
a?x0?x1?x2???xn?b把区间[a,b]分成几个小区间[x0,x1],[x1,x2],?,[xn?1,xn], 几
个小区间的长度依次为
?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1。
在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点?in，作函数值f(?i)与小区间长度?xi的乘积
?x1,?x2,?,?xn},如果不f(?i)?xi (i=1,2,…,n),再作和S??f(?i)?xi记??max{i?1论对〔a、b〕怎样分法，也不论在小区间[xi?1,xi]上点ξi怎样取法，只要当??0时，
和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作
?baf(x)dx ， 即?f(x)dx?I?lim?f(?i)?xi
abn??0i?1其中f(x)做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a,b分别叫做积分下限和积分上限，[a,b]叫做积分区间。
注意：定积分的值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的符号无关，即
?baf(x)dx??f(u)du??f(t)dt
aabb（2）函数f(x)在[a,b]上可积的条件：
1）充分条件：若f(x)在〔a, b〕上连续或f(x)在[a,b]上有界且只有有限个第一类间断点，则f(x)可积。
2）必要条件：若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在v上必有界。 （3）定积分的几何意义：
a在几何上表示为介于x轴、曲线y?f(x)及直线x?a、x?b之间的各部分面积的
代数和。在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号。 4.定积分的性质
设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，则有 1）当a=b时，2）3）4）
?baf(x)dx?0
ab??babf(x)dx???f(x)dx（无论a
ba?[f(x)?g(x)]dx??ababaf(x)dx??g(x)dx
abkf(x)dx?k?f(x)dx (k为常数)
5)不论a,b,c的相对位置如何，总有等式
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx成立
accb6）若在[a,b]上f(x)?1，则
?badx?b?a
7）如果在[a,b]上,f(x)?g(x),则?baf(x)dx??g(x)dx
ab8）设M和m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值，则
m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)
ab9）（定积分中值定理）如果f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ,使得
?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)
2．微积分基本定理
(1) 积分上限函数及其性质
1）定义：设函数f(x)在[a,b]上连续，x为[a,b]上一点，则f(x)在[a,x]上的定积分
?xaf(x)dx显然是x的函数，记为 ?(x)??xaf(t)dt a≤x≤b
则称?(x)在f(x)的积分上限函数。 2）定理
〈a〉若f(x)在[a,b]上可积，则 ?（x）= 〈b〉若f(x)在[a,b]上连续，则 ?（x）= 且??(x)??axaf(t)dt在[a, b] 上连续。
?xf(t)dt在[a, b]上可导，
dxf(t)dt?f(x) ?adx注意：在用定理（b）对有关可变上限定积分求导时，
dbf(t)dt??f(x)
dx?xd?(x)f(t)dt?f[?(x)]???(x) ?dxa
〈c〉若f(x)在[a,b]上连续, 则 ?(x)??xaf(t)dt是f(x)在区间[a,b]上的一个
原函数。
(2)牛顿—莱布尼兹公式
若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的任意一个原函数， 则
?baf(x)dx?F(b)?F(a)
注意：牛顿—莱布尼兹公式的适用条件，被积函数f(x)在闭区间[a,b]上处处连续（两端点也不例外）。
3.定积分的计算
(1)定积分的换元法
设函数f(x)在[a,b]上连续，x??(x)在区间[?,?]上单值且有连续导数，其值域不超出[a,b]，则有
?baf(x)dx??f[?(x)]??(x)dt
??（其中：?(?)?a,?(?)?b） 注意：换元必换限
(2) 定积分的分部积分法
设函数u(x),v(x)在[a,b]上具有连续导数u?(x),v?(x),则 (3) 常用公式
1）设f(x)在对称区间[?a,a]上连续，则
a??2f(x)dxf(x)为偶函数 ?f(x)dx???0
?a?0f(x)为奇函数?31??n?1n?3?????????nn?2nn42222 2) ?0sinxdx??0cosxdx??n?1n?342???????153?nn?2a?baudv?(uv)??vdu
aabbn为正偶数
n为大于1的奇数(4) 定积分的近似计算
1）矩形法
???baf(x)dx?b?a(y1+y2+…+yn) nb?a1[(y0+yn)+ y1+y2+…+yn-1] n2b?a [ (y0+yn)+2( y2+y4+…+yn-2)+4 (y1+y3+…+yn-1) 3n 2）梯形法
baf(x)dx?
3）抛物线法〔或叫辛普森（Simpson）公式〕
baf(x)dx?
（其中：n为偶数）
4.反常积分
（1）无穷限的反常积分
1）设f(x)在[a,??)上有定义，且在任一个有界区间[a,A]上存在积分
?Aaf(x)dx，若limA????AAaf(x)dx存在，则称此极限值为f(x)在[a,??)上的反常积
分，记
?Aaf(x)dx=limA???a?Af(x)dx，此时说反常积分?f(x)dx收敛，若极限不存
aA在，则说反常积分
?af(x)dx发散。同理，可定义f(x)在区间(??,b]上的反常积
分的敛散性。
2）设f(x)在(??,??)上有定义，若对某个A，反常积分都收敛，则称
?A??f(x)dx和???????Af(x)dx?????f(x)dx=?A??f(x)dx+???Af(x)dx，此时称?f(x)dx收敛，否则
?????f(x)dx发散。
（2）无界函数的反常积分
1）、设f(x)在区间(a,b]上有定义，且在任何一个区间[a??,b]，(???0)上可积，若lim???0?ba??f(x)dx存在，则称f(x)在[a,b]上的反常积分收敛，记作
ba???baf(x)dx=lim????0同理可定义f(x)在区间[a,b)上反常积分的敛散性。 f(x)dx。
2）、设f(x)在[a,c)和(c,b]都有定义，且???0，f(x)在[a,c??]及[c??,b]上可积，定义
?baf(x)dx=lim???1?0c??1af(x)dx?lim???2?0bc??2f(x)dx，若右端两个极限
都存在，则称反常积分
（3）两个重要结论
1）、无穷极限
?baf(x)dx收敛，否则发散。
???a1dx(a?0),当p?1时收敛，当p?1时发散 px2）、反常积分
?babdxdx或，当p?1时收敛，当p?1时发散。
(x?a)p?a(b?x)p三、典型例题分析
例1：当x为何值时，函数I(x)??x20(t?1)e?tdt有极值？ 是极大值还是极小值？
解：按求函数极值的步骤，先求驻点：
由于I?(x)?(x2?1)e?x?2x?2x(x2?1)e?x 令I?(x)?0得驻点x1??1,x2?0,x3?1
为确定这些驻点是否为极值点，可考察I?(x)的符号，列表如下：
x （-?，-1） （-1，0） （0，1） （1，+?） 22I?(x) _ + _ +