???costcosx027. [ 解析：令x??t,则I =???dx=?0dx
24sinx?cosxcost?sint2? I=
?20sinxsinx2dx+?0dx=
sinx?cosxsinx?cosx???20dx??2. 所以I=
?. ] 4dysinx2y2'?y22.2x?0 8. =?2esinx [ 解析：在方程两边关于X求导，e.y?dxx 于是y??'2sinx2ey2??2e?ysinx2. ]
29. -
11b2b'b [解析：?axf(x)f(x)dx=?axf(x)df(x)=?axdf(x) 22
1211b22xf(x)b[xf2(b)?xf2(a)]-?ba??af(x)dx=af(x)dx 22211=0??1??. ]
22=10.
???11 [解析：由于?0f(x)dx.为一常数，所以可令?0f(x)dx.=c 2e11?x2?ex.c
11?x2从而有f(x)=
对上式求定积分得：
?10f(x)dx.=?10xdx?c?10edx
即c=
?1011?x21xdx?c?10edx
于是c=arcsinx0?c(e)， c=
0x1?2?c(e?1) ?c??2e
即
?10f(x)dx.=
? .] 2e??011. 解析：（I）当k??1时，? (II) 当k??1时,
xkdx=lnx??0?limlnb?limln??b?????0?广义积分发散
???0xk?1xdx?k?1k??0bk?1?k?1?lim?lim b???k?1??0?k?1bk?1?k?1??? ,而lim?0 故广义积分发散 当k??1时, limb???k?1??0?k?1bk?1?k?1?0 ,而lim?? 故广义积分发散 当k??1时, limb???k?1??0?k?1所以对任意的实数k，广义积分均发散 。 12．解析：令x?t 则
???0xe?xdx??2t2e?tdt???tde?t??te?t00??2??22??0????0e?tdt
2 =四、证明题
???0edt??t2?2
解析：只须令从而
?a0f(x)dx.?A 即得 f(x)?x2?A
?a0aaf(x)dx.=?0(x2?A)dx 即A=?0(x2?A)dx
1313a?(Ax)0所以A=x， A=a?Aa 303aa3a3aA= 即?0f(x)dx.=
3(a?1)3(a?1)
一、选择题
1.设f(x)连续，F(x) =
?x20f(t2)dt， 则F'(x)等于（ ）
2（A）f(x4 ) （B）x2 f(x4 ) （C）2x f(x4 ) （D）2xf(x)
'2.设f(x)在[a, b ]上可导，且 f(x) >0 ，若?(x)=
?xaf(t)dt ，
则下列说法正确的是（ ）。
（A）?(x)在[a, b ]上单调减少 （B）?(x)在[a, b ]上单调增加 （C）?(x)在[a, b ]上为凹函数 （D）?(x)在[a, b ]上为凸函数 3. 设f(x)连续，I=t
?s0tf(tx)dx ,则下列结论中成立的是（ ）
（A）I是S和t的函数 (B) I是S的函数 (C) I是t的函数 (D) I是常数 4. 设f(x)连续，F(x)= (A) ?e (C) e?x?x?e?xxf(t)dt,则F'(x)?( ).
f(e?x)?f(x) (B) ?e?xf(e?x)?f(x)
f(e?x)?f(x) (D) e?xf(e?x)?f(x)
5.设f(x)??x20t(t?1)dt，则下列结论中正确的是（ ）.
（A）f(?1)是极大值，f(1)是极小值. （B）f(?1)是极小值，f(1)是极大值.
（C） f(?1)和f(1)是极小值，f(0) 是极大值. （D） f(?1)和f(1) 是极大值，f(0) 是极小值. 二、填空题 1. 2.
da?t2dt= 0e?dx2?2?max(1,x2)dx? 3.
?2?2x5sin2xdx? 42x?x?14.设F（X）=5.已知
??20x‘f(x)dx??0f(t)dt,则F（X）?
?101’f（x）dx?1， f(1)=1 ,则?0xf（x）dx? 0x?6.设?（x）‘sin（sint）dt，（?2）? 则?a?a7. 设f(x)为（-a,a ）上连续, a≠0 则
三、计算题
??x?f(x)?f(?x)?dx?
1.
?2??(2cosx?x4sinx)dx
2?sinx??(1?x2)32. 设f(x)???x2?1?2xe?3.
x?[?1,0]x?[0,1] 求
?1?1f(x)dx.
??1?1x?x1?x2dx.
?4. 5.
20sinx?cosxdx
?a0x2a2?x2dx
6. 设f(x)连续，且满足
??2x0f(t)dt?cosx?1， 求??0f(x)dx
7. I=
?20sinxdx
sinx?cosx8. 设y=y(x)由方程
?y0xetdt??022sinttdt?1 确定，求
dy. dx9. 设f(x)在〔a，b〕上有连续导数，且f(a)=f(b)=0,
?ba'f2(x)dx?1 ， 求?baxf(x)f(x)dx
10. 设f(x)是连续函数，且f(x)=
??11?x21?ex?10f(x)dx. 求?0f(x)dx.
11. 能否求出k值，使积分
???0xkdx收敛
12. 已知
?0e?tdt?222求
???0xe?xdx
四、证明题 1. 设f(x)= x?2?a0f(x)dx. （a?-1）. 证明：?a0a3 f(x)dx.?3(a?1)自测题B参考答案
一、选择题 1.（C）
2.（C）[ 解析：由于f'(x)>0, 而?'(x)=f(x)， 故???(x)=f'(x)>0 可见?(x)在〔a,b〕上为凹函数。]
3.（B）[ 解析：用定积分的换元法将I化简。 令u=tx,
则I=t
?s0t1ssf(u)du， 所以I是S的函数。 ] f(u)du=?0f(tx)dx=t?0t4.（A）[ 解析：关于变上、下限函数求导。 ]
'5.（C）[ 解析：先对变上限函数求导，然后求驻点，并由f(x)符号的变化来判别f(x)是
否有极限，是极大值或是极小值。 ] 二、填空题
1. 0 [ 解析：由于2.
?a0e?tdt是一常数，故导数为0。]
22022?12122 [ 解析：因为??2max(1,x)dx???2xdx???11dx??1xdx 313?111327720 =x?2?x?x1??2?? ]
?1333333. 0 [ 解析：由于被积分函数在对称区间〔-2，2〕上为奇函数，故积分为0。]
4. f(x) [ 解析：由于第一个积分为常数，而第二个积分的导数可按变上限函数求导即可。] 5. 0 [ 解析：
?1011?x）dx??1xf（0xdf(x)?xf(x)0??0f(x)dx
=f(1)?0??10f（x）dx?1?1?0 ]
??sin（sinx）6. sin(sin2) [ 解析：因为?（x） ??'（?2）??sin（sin(?2)）= sin(sin2)]
7. 0 [ 解析：由于函数f(x)+f(-x)为偶函数，故该定积分的被积函数在对称区间〔-a,a〕
上为奇函数，所以此定积分为0 。]
三、计算题
1. ln3 [ 解析：由于x4sinx在???'????，?上为奇函数，故积分为0， ?22?? 所以，原式=
?2??2cosx1dx=?2?d(sinx?2)
?2?sinx2?sinx2?2? =ln(2?sinx)?2??ln3。]
2.
3?101 [ 解析：??1f(x)dx.=??1f(x)dx.+?0f(x)dx. 16 = 其中而对于是
?0?1?x(1?x2)3dx.??1)dx 0(1?2xe222?10?1(1?2xe?x)dx=(x?e?x)1?e 0???0?1(1?x2)3dx.做变量代换。令x=sint, dx=costdt (1?x2)3dx.=?0?cos4tdt 再令t=-u
?20?1则有
0??2costdt=?40?231?3?cosu(?du)=?02cos4udu =..= .]
422164?3. ln2 [ 解析： =0+
?1?1x?x1?x2dx.=?0?1x?x1x?xdx.dx. +022?1?x1?x?102x11dx.d(1?x2)=ln(1?x2)1=0=ln2. ] 022?1?x1?x???4. 22?2 [ 解析：
??202(sinx?cosx)dx sinx?cosxdx=?04(cosx?sinx)dx+??4?=(sinx?cosx)40?(?cosx?sinx)?24=(2?2?1)?(1?2)?22?2) 2a4?5. [解析：令x=asint dx=acostdt 同时换元换限
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