=?lnx1(1?x2)??1?1lnx1??1x1??1?lim?0?(?)dx dx?222??11x???21?x2x1?x2x(1?x)??1111x22??=[lnx?ln(1?x)]1?ln2241?x2
1?ln2 4??x?ax)??4x2e?2xdx，求a的值。 例15：已知lim(ax???x?ax?a?(?2a)?ax?ax?2a?2a)?lim(1?)?e?2a 解：lim(x???x?ax???x?a又
???a4xe2?2xdx??2???axde2?2x??2xe2?2x??a?2???a2xe?2xdx
??a=2ae2?2a?2xe?2x??a?2?e?2xdx?2a2e?2a?2ae?2a?e?2xa??=e?2a(2a2?2a?1)
?e?2a=e?2a(2a2?2a?1) 即：2a2?2a?1=1 a?0或a?1
例16：求反常积分
?2dxx?120
解
x?1为无穷间断
??2dxx?120=
?1dx1?x1??1020??2dxx?121?lim???1?01??1dx1?x?20?lim???2?02dxx?121??2
=lim?arcsinx?1?0?lim?ln(x?x2?1)?2?021??2?2?ln(2?3)
例17：设f(x)? 解： ??x1edt，求??t210f(x)dx xx?0为无穷间断点
?1011f(x)dx=?f(x)d2x?2xf(x)1?2xf'(x)dx 0?00x =-2
四、自测题A及解答
一、选择题
1.当x?0时，
?x0(cost?1)dt 与xn是同阶无穷小量，则n的值为（ ）.
(A) . 1 (B). 2 (C). 3 (D)4 2.
dx2sintdt?( ) 0dx?(A) 2xsinx2 (B) sint2 (C) sinx2 (D)2tsint2
3.下列积分正确的是（ ）. (A)
111dx?[?]?1??2??1x2x11??20 (B)
??sinxdx?2?2?2sinxdx?2
(C)
??11?xdx?2?1?xdx?0212?2? (D)
??cosxdx?0
2?24 .变上限积分
?x0f(t)dt是（ ）.
（A）f'(x)的一个原函数 (B) f'(x)的全体原函数 (C) f(x)的一个原函数 (d) f(x)的全体原函数 5.
?30x?1dx?( )
(A) 0 (B) 1 (C) 6. 下列反常积分中发散的是________ (A)5 (D)2 2?????0xe?x2dx(B)?10dxxlnxdx(?C)3xlnxlnlnx(?D)3??dx x2lnx二、填空题 1.
dx?t2dt= oedx??2.
?2??2x2sinxdx?
3. limx?010?x0sin(t2)dtx3? 4.
?xexdx=
25. 函数F(x)=
?x1(1?lnt)dt(x?0)的递减区间为 。
1nxe是f(x)的一个原函数，则6. 设1?xf?(x)dx? . xx?a7. 设limf(x)?1，a为常数，则limx???x????f(t)dt=
x8.
????1x(x?1)212dx?_______
9.
11dx?_______ xlnx三、计算题
1.
?e311x1?lnxdx
2.
??201(2?x)1?xdx
3. 4. 5.
2?0sinxdx
???2040excosxdx
cos(x?1)dx
6.
?10ln(1?x)dx 2(2?x)1?17. 求
??2x?1x?0f(x)dx, 其中f(x)???x
x?0?e8. 求f(x)=9. 设
?x02t?2dt在〔0，1〕上的最大值和最小值。 2t?2t?2?x0f(t)dt?ln(1?x2) ， 求f(1) 。
10. 设f(x)为（-?,?? ）上的连续函数，且 f(x)=3x2 -x四、证明题 1.证明
?10f(x)dx，求f(x)。
?a0x3f(x2)dx?1a20xf(x)dx (a>o) 2?自测题A参考答案
（一）选择题 1.（C）
?[ 解析：由于limx?0x0(cost?1)dtxn?limcosx?1?sinx? limx?0x?0n(n?1).xn?2nxn?1 而据条件，该极限一定要为非零常数，故n-2=1, 即 n=3 。]
2. （C）
3. （C） [ 解析：A选项中的积分为广义积分，该计算方法错误； B选项中的积分值应为0； D选项中的积分应为2. ] 4.（C） 5. (C) [ 解析：
?30x?1dx??(1?x)dx??103111(x?1)dx?(x?x2)?(x2?x)
220113 =6. (C)
（二）填空题 1. e?x215?2? ] 22
2. 0 [ 解析：由于被积函数xsinx在对称区间??3.
2????,?上为奇函数。] ?22?01 [ 解析：当x?0时，该极限为 型，利用洛必塔法则即可。]
0314. (e?1)
25. e,?? 6. ?1??2?1lnxlnx'1?lnx)? [ 解析：由于是f(x)的一个原函数，故f(x)?(。
exxx2?e1eexf'(x)dx??1xdf(x)??xf(x)?1lnxe1?1?lnx?e??1f(x)dx=?x.] ?()??1?12?xex?1?e7. a [ 解析：由积分中值定理，存在???x,x?a? 使得
?x?axf(t)dt?f(?).a, 从而limx????x?axf(t)dt?limf(?)a
x???x???（当x???时，必有???? ） =limf(?)a?alimf(x)?a ]
????8．
1ln2 2[解析：
???11x112bdx?lim(?)dx?lim[lnx?ln(1?x)]?ln2] 1b????1xb???x(x2?1)x2?122b19． 发散 [解析：
（三）计算题 1. 2 [ 解析：
?212dlnx1dx?lim?limlnlnx??0??1??lnx??0?xlnx21????]
?e311x1?lnxe31dx??e3111?lnxed(lnx)?2?13121?lnxd(1?lnx)
=2(1?lnx)2.
?2 ]
?2 [ 解析：令1?x?t， x?t?1 dx?2td,t 同时注意换元换限 6从而
??132tdt1?????33?2dt?2arctant?2??? ] 1?11?t2?34?62?(t2?1)]t??2??2?3. 4 [ 解析：
?sinxdx??sinxdx??(?sinx)dx?(?cosx)0?(cosx)?00?2??]
??(?1?1)?[1?(?1)]?412xecosxdx=?02cosxdex=?02ex(?sinx)dx 4．(e2?1) [ 解析：?02
???????x?2x??0ecosxdx
=（0-1）+
??20esinxdx=-1+?02sinxde = ?1?esinx??xx20122xecosxdx 从而?0ecosxdx?(e2?1) ] =-1+e2??02x? 5. 4sin1 [ 解析：令x?t， x?t dx?2td,t 换元换限
2?4022cos(x?1)dx=2?0tcos(t?1)dt=2?0tdsin(t?1)
202sin(t?1)dt=4sin1+2cos(t-1)? 2?020 =2tsin(t-1)= 4sin1. ]
6.
1ln2 [ 解析: 3?101ln(1?x)1ln(1?x)d() dx=0?22?x(2?x) =
ln(1?x)2?x10??1011111.dx=ln2??1(?.)dx 02?x1?x3x?2x?1