??于是原式= =
??20asint.cost.cost.dt=?02a4sin2t.(1?sin2t)dt
?42?20asint.dt-?42204?1?31??a?asint.dt=a?.?..??. ] ?22422?164246. –1 [ 解析：对
?2x0f(t)dt?cosx?1两边关于X求导得：
1sinx 21t1x 令2x=t 得 f(t)??sin 即f(x)??sin
22221xxxx??? 于是?0f(x)dx=?0(?sin)dx=??0sind()=cos22222x ?f(2x)?? f(2x).2??sin?0??1. ]
???costcosx027. [ 解析：令x??t,则I =???dx=?0dx
24sinx?cosxcost?sint2? I=
?20sinxsinx2dx+?0dx=
sinx?cosxsinx?cosx???20dx??2. 所以I=
?. ] 4dysinx2y2'?y22.2x?0 8. =?2esinx [ 解析：在方程两边关于X求导，e.y?dxx 于是y??'2sinx2ey2??2e?ysinx2. ]
29. -
11b2b'b [解析：?axf(x)f(x)dx=?axf(x)df(x)=?axdf(x) 22
1211b2b222xf(x)b?f(x)dx[xf(b)?xf(a)]=-a?aaf(x)dx ?22211=0??1??. ]
22=10.
???11 [解析：由于?0f(x)dx.为一常数，所以可令?0f(x)dx.=c 2e11?x2?ex.c
11?x2从而有f(x)=
对上式求定积分得：
?10f(x)dx.=?10xdx?c?10edx
即c=
?1011?x2xdx?c?10edx
于是c=arcsinx0?c(e)， c=
01x1?2?c(e?1) ?c??2e
即
?10f(x)dx.=
? .] 2e11. 解析：（I）当k??1时，
???0xkdx=lnx??0?limlnb?limln??b?????0?广义积分发散
(II) 当k??1时,
???0xk?1xdx?k?1k??0bk?1?k?1?lim?lim b???k?1??0?k?1bk?1?k?1??? ,而lim?0 故广义积分发散 当k??1时, limb???k?1??0?k?1bk?1?k?1?0 ,而lim?? 故广义积分发散 当k??1时, limb???k?1??0?k?1所以对任意的实数k，广义积分均发散 。 12．解析：令x?t 则
???0xe?xdx??2t2e?tdt???tde?t??te?t00??2??22??0????0e?tdt
2 =四、证明题
???0e?tdt?2?2
解析：只须令从而
?a0f(x)dx.?A 即得 f(x)?x2?A
?a0aaf(x)dx.=?0(x2?A)dx 即A=?0(x2?A)dx
1313a?(Ax)0所以A=x， A=a?Aa 303aa3a3aA= 即?0f(x)dx.=
3(a?1)3(a?1)