=ln2?1?ln(x?2)?ln(x?1)?10 =ln2?1(?ln2?ln2)?1ln2 ] 333?1 7. 1?e [解析:
?1?111?x0f(x)dx=?0?1f(x)dx+?0f(x)dx=??1(2x?1)dx+?0edx
0?1?1?1?(?e?x)1?0?1?e?1?e ] 02 =(x?x) 8. 最小值为0； 最大值为ln5?ln2 [ 解析：由于f(x)?'2x?22x?2??0 （x??0,1?）
x2?2x?2(x?1)2?12t?2dt
t2?2t?2 故f(x)在〔0，1〕上单调增加。 从而最小值为f(0)=0; 最大值为f(1)= 而
?10?102t?22(t?1)111dt==d(t?1)d(t?1)2 00222??t?2t?2(t?1)?1(t?1)?1 =
?10122d(t?1)?1?ln(t?1)?12(t?1)?1????10?ln5?ln2 ]
9. 1 [ 解析：等式两边关于x求导得：f(x)? 10. f(x)?3x?22x2?1f(1)??1 ] 于是21?11?x2x 3 [ 解析：由于定积分
?10f(x)dx是一常数，所以可令?10f(x)dx=k， 从而有：
121f(x)?3x2?x.k,这样对上式两边求积分得：?10f(x)dx=?03xdx?k?0xdx
即k?x310112
?k(x2) k?1?k 于是k?
223021从而f(x)?3x?2x. ] 3四、证明题
[ 解析：根据等式两边被积函数与积分上，下限的特点，对等式左边的定积分 做变量代换，令x?t. x?2t dx?12t12tdt 换元换限即得
1a20tf(t)dt?右边 ?2左边=
?a0ax3f(x2)dx??0(t)3.f(t).2dt =
说明：也可从右向左证明，对左边的定积分可令
x?t2， 同样可证。 ]
五、自测题B及解答
一、选择题
1.设f(x)连续，F(x) =
?x20f(t2)dt， 则F'(x)等于（ ）
（A）f(x4 ) （B）x2 f(x4 ) （C）2x f(x4 ) （D）2xf(x2) 2.设f(x)在[a, b ]上可导，且 f'(x) >0 ，若?(x)=则下列说法正确的是（ ）。
（A）?(x)在[a, b ]上单调减少 （B）?(x)在[a, b ]上单调增加 （C）?(x)在[a, b ]上为凹函数 （D）?(x)在[a, b ]上为凸函数 3. 设f(x)连续，I=t
?xaf(t)dt ，
?s0tf(tx)dx ,则下列结论中成立的是（ ）
（A）I是S和t的函数 (B) I是S的函数 (C) I是t的函数 (D) I是常数 4. 设f(x)连续，F(x)=
?e?xxf(t)dt,则F'(x)?( ).
(A) ?e?xf(e?x)?f(x) (B) ?e?xf(e?x)?f(x) (C) e?xf(e?x)?f(x) (D) e?xf(e?x)?f(x)
5.设f(x)??x20t(t?1)dt，则下列结论中正确的是（ ）.
（A）f(?1)是极大值，f(1)是极小值. （B）f(?1)是极小值，f(1)是极大值.
（C） f(?1)和f(1)是极小值，f(0) 是极大值. （D） f(?1)和f(1) 是极大值，f(0) 是极小值. 二、填空题 1. 2.
da?t2dt= 0edx?2?2?max(1,x2)dx? 3.
?2?2x5sin2xdx?
x4?x2?14.设F（X）=5.已知
??20x‘f(x)dx??0f(t)dt,则F（X）?
?101’f（x）dx?1， f(1)=1 ,则?0xf（x）dx? 0x?6.设?（x）‘sin（sint）dt，（?2）? 则?a?a7. 设f(x)为（-a,a ）上连续, a≠0 则 三、计算题
??x?f(x)?f(?x)?dx?
1.
?2??(2cosx?x4sinx)dx
2?sinx??(1?x2)32. 设f(x)???x2??1?2xe3.
x?[?1,0]x?[0,1] 求
?1?1f(x)dx.
??1?1x?x1?x2dx.
?4. 5.
20sinx?cosxdx
?a0x2a2?x2dx
6. 设f(x)连续，且满足
??2x0f(t)dt?cosx?1， 求??0f(x)dx
7. I=
?20sinxdx
sinx?cosx8. 设y=y(x)由方程
?y0xetdt??022sinttdt?1 确定，求
dy. dx9. 设f(x)在〔a，b〕上有连续导数，且f(a)=f(b)=0,
?ba'f2(x)dx?1 ， 求?baxf(x)f(x)dx
10. 设f(x)是连续函数，且f(x)=
??11?x21?ex?10f(x)dx. 求?0f(x)dx.
11. 能否求出k值，使积分
?0xkdx收敛
??12. 已知
???0e?tdt?222求
?0xe?xdx
四、证明题 1. 设f(x)= x?2?a0f(x)dx. （a?-1）. 证明：?a0a3 f(x)dx.?3(a?1)自测题B参考答案
一、选择题 1.（C）
2.（C）[ 解析：由于f'(x)>0, 而?'(x)=f(x)， 故???(x)=f'(x)>0 可见?(x)在〔a,b〕上为凹函数。]
3.（B）[ 解析：用定积分的换元法将I化简。 令u=tx,
则I=t
?s0t1ssf(u)du， 所以I是S的函数。 ] f(u)du=?0f(tx)dx=t?0t4.（A）[ 解析：关于变上、下限函数求导。 ]
5.（C）[ 解析：先对变上限函数求导，然后求驻点，并由f'(x)符号的变化来判别f(x)是 否有极限，是极大值或是极小值。 ] 二、填空题
1. 0 [ 解析：由于2.
?a0e?tdt是一常数，故导数为0。]
22022?12122 [ 解析：因为??2max(1,x)dx???2xdx???11dx??1xdx 313?111327720 =x?2?x?x1??2?? ]
?1333333. 0 [ 解析：由于被积分函数在对称区间〔-2，2〕上为奇函数，故积分为0。]
4. f(x) [ 解析：由于第一个积分为常数，而第二个积分的导数可按变上限函数求导即可。] 5. 0 [ 解析：
?1011?x）dx??1xf（0xdf(x)?xf(x)0??0f(x)dx
=f(1)?0??10f（x）dx?1?1?0 ]
??sin（sinx）6. sin(sin2) [ 解析：因为?（x） ??'（?2）??sin（sin(?2)）= sin(sin2)]
7. 0 [ 解析：由于函数f(x)+f(-x)为偶函数，故该定积分的被积函数在对称区间〔-a,a〕
上为奇函数，所以此定积分为0 。]
三、计算题
41. ln3 [ 解析：由于xsinx在??'????，?上为奇函数，故积分为0， 22???? 所以，原式=
?2??2cosx1dx=?2?d(sinx?2)
?2?sinx2?sinx2? =ln(2?sinx)2??2??ln3。]
2.
3?101 [ 解析：??1f(x)dx.=??1f(x)dx.+?0f(x)dx. 16 = 其中而对于是
?0?1?x(1?x2)3dx.??1)dx 0(1?2xe?x22?10(1?2xe)dx=(x?e?x2?1)10?e
???0?1(1?x2)3dx.做变量代换。令x=sint, dx=costdt (1?x2)3dx.=?0?cos4tdt 再令t=-u
?20?1则有
0??2costdt=?40?231?3?cosu(?du)=?02cos4udu =..= .]
422164?13. ln2 [ 解析：??1x?x1?x2dx.=?0?1x?x1x?xdx.+?01?x2dx. 1?x2 =0+
?102x11dx.d(1?x2)=ln(1?x2)1=0=ln2. ] 022?1?x1?x???4. 22?2 [ 解析：
??202(sinx?cosx)dx sinx?cosxdx=?04(cosx?sinx)dx+??4?=(sinx?cosx)40?(?cosx?sinx)?24=(2?2?1)?(1?2)?22?2) 2a4?5. [解析：令x=asint dx=acostdt 同时换元换限
16??于是原式= =
??20asint.cost.cost.dt=?02a4sin2t.(1?sin2t)dt
?42?20asint.dt-?42204?1?31??a?asint.dt=a?.?..??. ]
1622422??4246. –1 [ 解析：对
?2x0f(t)dt?cosx?1两边关于X求导得：
1sinx 21t1x 令2x=t 得 f(t)??sin 即f(x)??sin
22221xxxx??? 于是?0f(x)dx=?0(?sin)dx=??0sind()=cos22222x ?f(2x)?? f(2x).2??sin?0??1. ]