可见。x??1时是极小值，x?0时是极大值。 例2：已知F(x)=
?x20xsin(t2)dt, 求
dF dx 解：（分析：利用变上限定积分的性质，注意到t是积分变量，所以当对t积分时，应该将x看
成不变的，看作是一常数，于是便可提到积分号外面；而在求导时，x是变量。）
x2dx2d22F?(x)?xsin(t)dt?[x?sin(t)dt]??00dxdx
??sin(t2)dt?x?sin(x2)2?2x0x2
??sin(t2)dt?2x2?sinx40x2
?例3.求定积分
?20sinxdx 23?sinx? 解：原式＝?
?2?20dcosx?12?cosx?21??ln?ln3 2??4?cosx?42?cosx?04dx?例4.求定积分
?2?x2x?12
方法一：令?=sect dx?sect?tant?dt
当x??2时,t?3?43?2?;当x??2时,t?433?4
3?sect?tant23324??dt??costdt??sint??(?)?? 原式＝? 2?2?22222?sect?tant2?333方法二：作倒代换
112x?,当x??2时,t??;当x??2时,t??t222221????2dt222tdt1d(1?t2)t 原式???????221211?t111?t?31?t2???222t??1?t
?ln2?2?221?2???2332?(?)??2222 例5.求定积分
?01?e2xdx
方法一：令e?sint,
xx?lnsint.则有dx?costdt sint1?e2x?1?(sint)2?cost; 当x?0时,t??6?22;当x??ln2时,t???6
?62?2 于是：原式 =
2costcostsint?11costdt?dt?dt?(sint?)dt????sintsintsint??sint??2266
??cost?lncsct?cott? 方法二：令1?e2x?t,则x???2?63?ln(2?3)21?tln(1?t2),dx?dt。 221?t当x=0时，t=o; 当x=-ln2时，t=
3. 2332 于是：原式=
?0?t21311?t22dt?(1?)dt??[ln]0 ?0221?t1?t21?t23 =
3?ln(2?3) 2? 例6.求定积分
?01?sinxdx
解：首先要设法去掉根号，将被积函数化为有理式
由于1?sinx?sin2xxxxxx?cos2?sincos?(sin?cos)2 222222 =sinxx?cos 22xx?cos?sin?22 =?xx?sin?cos2?2?x?[0,]2 x?[,?]2?? 于是：原式=
?20xxxx(cos?sin)dx???(sin?cos)dx ?22222???2xx2xx?2(?cos?sin) =2(sin?cos)02222
=2(2?1)?2(?1?2)?4(2?1)
1 例7.求定积分x(1?x2)arctanxdx
?011112222(1?x).arctanxd(1?x)?o0arctanxd(1?x) ??241?112212 =(1?x).arctanx0??0(1?x)dx??
443原式=
?1?1?x 例8.求定积分?f(x?1)dx,其中f(x)??10??1?ex2x?0
x?01???1?(x?1)解：方法一：因为f(x?1)??1???1?ex?1(x?1)?0
(x?1)?0?1? 即f(x?1)??x1??1?ex?1
于是
x?1
x?1?20f(x?1)dx??1011e1?x2111?x?dx?ln2?dx?ln2?[ln(e?1)] 101?xx?1??0x1?ee?1 =ln(e?1) 方法二：令t=x-1,则
?20f(x?1)dx??1?1f(t)dt??0?1tt11101?e?edt??odt?ln2???1dt tt1?t1?e1?e ?ln2??0?1et(1?)dt?ln2?1?[ln(1?et)]02?lne(?1)?1?lne(?1) ?1?ln2?1?[lnt1?e 比较两种方法，一般来说这类题目方法二比较方便。
例9：设函数f(x)是连续函数，证明 （1）若f(x)是奇函数，则 （2）若f(x)是偶函数，则
??x0x0f(t)dt是偶函数； f(t)dt是奇函数；
证明：（1）由条件f(-x)=- f(x)， 令F（X）= 则F（-x）=
?x0f(t)dt
??x0f(t)dt 对此积分做变换令t=-u, dt=-du
xx[?f(?u)]du=?0f(u)du?F(x) f(?u)(?du)=?0 从而F（-x）=
?x1x0 得证。 同理可证（2）。
例10：设f(x)=
?lnt1dt, 求f(x)+f() 1?tx111lnt 解： 由题设f()=?1xdt。 对该积分做变换令t?
xu1?t11xu(?1)du?xlnu?xlntdt 于是f()=?1?1u2?u?1t2?t1xu21?()uln 从而f(x)+ f()=
1x?xx1lnt??lntx(t?1)lnt?dt?dt 12???1?tt?(1?t)t?t?? =
lnt1dt?(lnx)2 ?t21
例11：若函数f(x)在闭区间〔0、1〕上连续，证明： （1） (2)
??20f(sinx)dx=
???0?20f(cosx)dx
??xf(sinx)dx?2?f(sinx)dx
0 证明：（1）令 x=
?2?t, 则
??20f(sinx)dx=
?20??02???2f?sin(?t)?.(?dt)??0f(cost)dt
2??? =
?0?f(cosx)dx
(2)令x=??t
?0xf(sinx)dx???(??t)f?sin?(?t)?(?dt)
=
??0(??t)f(sint)dt
?0 =??f(sint)dt???0tf(sint)dt
=? 移项，得： 2 既
例12：若f(x)???0f(sinx)dx???0xf(sinx)dx
??0xf(sinx)dx???0f(sinx)dx
??0f(sinx)dx??2??0f(sinx)dx
1211?1?xf(x)dx,计算0f(x)dx, 02??1?x 解：注意：定积分 故令
10?10f(x)dx,是一个确定的数。
1?k1?x2 2?1?x11?k1?x2)dx 对上式两边关于x求定积分得，k=?0(21?xf(x)dx=k, 则f(x)=
11122arctanx?k?0costdsint ?k1?x)dx 而积分?0(=201?x?????????22 =?k?cost.sint0??0sint?(?sint)dt?=?k?0???(1?k)
44?4?????4?? 故有k=(1?k) 得k=
44??1? 即?f(x)dx=.
04????
1'12''2,f(2)?0, ?0f(x)dx?1, 求?0xf(2x)dx 2112''112'12'' 解：?0xf(2x)dx=?0xf(2x)d(2x)=?0xdf(2x)
2212'11'1' =xf(2x)0??0xf(2x)dx???0xf(2x)dx
211'111111 =-?0xf(2x)d(2x)???0xdf(2x)??xf(2x)0??0f(2x)dx
2222112111 =-f(2)??0f(t)dt?????1?0
24224 例13: 设f(2)?
例14：计算反常积分
???1xlnxdx 22(1?x) 解：
???1??1??1xlnxlnx2?lnxddxdx== ?12(1?x2)22?11?x2(1?x2)2