角的平分线性质的探究。 教学设计思想
通过三角形的全等得出角的相等，从而得出作已知角的平分线的方法。通过折叠图形等的具体操作，来得出角的平分线的性质。再次利用三角形的全等来得出到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。通过例题和练习巩固这些知识点。
教学方法
小组讨论，学生探索为主。 学法指导
让学生观察、猜想、动手操作。 教学过程
一、创设情境，导入新课
【问题探究】
1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？ 二、合作交流，探究新知 探究1
想一想：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？
试一试：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的
一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．并将讨论结果进行展示。 讨论结果展示：
作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线． 作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
1 （2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交
2于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
质疑：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于
16
1MN的长”这个条件行吗？ 2
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
学生讨论结果总结：
1 1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找
2不到角的平分线．
1 2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能
2在∠AOB?的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，?否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，?所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明． 探究2：
做一做：请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把对折后的纸片继续折一次，折出一个直角三角形，然后把纸片展开，观察两次折叠的三条折痕
问题1：第一次折痕和角有什么关系？为什么？
问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有什么关系？它们的长度有什么关系？
如图将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
问题1：第一次折痕和角有什么关系？为什么？
问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有什么关系？它们的长度有什么关系？
同学之间互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．” 论证如下：
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
求证：PD=PE．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO和△PEO中，
17
??PDO??PEO,???AOC??BOC, ?OP?OP,?PDO≌△PEO（AAS） ∴△
∴PD=PE 说一说:
问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．
学生通过讨论作出下列概括：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE．
角的平分线的性质归纳如下：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 三、情境合一，优化思维 【问题思索】
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，?离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线． 证明如下：
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． 证明：经过点P作射线OC． ∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ?OP?OP, ??PD?PE, ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） ∴∠AOC=∠BOC， ∴OC是∠AOB的平分线．
归纳 ：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
18
四、范例点击，应用所学
【例】 如课本图11．3─6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P?到三边AB，BC，CA的距离相等．
【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．
证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F． ∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上． ∴PD=PE 同理 PE=PF ∴PD=PE=PF
即点P到边AB、BC、CA的距离相等． 五、课堂即练，巩固新知
1 、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证：EB=FC．
变题1：如图，△ABC中，∠C＝90°，
平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB．
变题2：如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE． 六、课堂小结
这节课你本节课学习了哪些知识？学会了什么方法？ 七、布置作业，专题突破
19
A
E B
D
F C
AD是∠BAC的
A
F C
D
E B
1．课本P22习题11．3第1、2、3题． 2．选用课时作业设计． 板书设计
12.3 角的平分线的性质
1、角的平分线的作法.
2、 角平分线的性质
有理数的减法教案
古丽达义 哈密市伊吾县前山学校
一、 教学目标：
知识与技能:理解掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法运算转化为加法运算。
过程与方法：通过把减法运算转化为加法运算，向学生渗 透转化思想，通过有理数的 减法运算，培养学生的运算能力。
情感态度与价值观：通过揭示有理数的减法法则，渗透事物间普遍联系、相互转化的辩证唯物主义思想。
二、教学重点：运用有理数的减法法则，熟练进行减法运算。 三、教学难点：理解有理数减法法则。
四、教 材分析：本节是在学习了正负数、相反数、有理数加法运算之后，以初中代数第一 册第53页的有理数减法法则及有理数减法运算的例1、例2为课堂教学内容。有理数的减法运算是一种基本的有理数运算，对今后正确熟练地进行有理数的混合运算，并对解决实际问题都有十分重要的作用。 五、教学方法：师生互动法 六、教具：教材，课件 七、课时：1课时 八、教学过程： 1、计算（口答）：
20