三、典型例题分析
例1 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a?b)，再沿虚线剪开，如图
（1），然后拼成一个梯形，如图（2）.根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（ ）
Ａ．a2?b2?(a?b)(a?b) Ｂ．(a?b)2?a2?2ab?b2 Ｃ．(a?b)2?a2?2ab?b2 Ｄ．a?b?(a?b)
答案：A
例2 如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为__________．
答案：a?3b
例3 (?8)2006222?(?8)2005能被下列数整除的是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9 答案：C
例4 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式______________．
b a a b
甲
22222乙
2例5 因式分解ab?ab?ac?ac?bc?bc?2abc 解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a为主元进行整理
a2b?ab2?a2c?ac2?b2c?bc2?2abc
=a2(b?c)?a(b2?2bc?c2)?bc(b?c) =a2(b?c)?a(b?c)2?bc(b?c)
=(b?c)[a2?a(b?c)?bc]?(b?c)(a2?ab?ac?bc) =(b?c)[a(a?b)?c(a?b)]?(a?b)(a?c)(b?c) 例6 已知a=
111222x+20，b=x+19，c=x+21，那么代数式a?b?c?ab?bc?ac的202020值是
（ ） A.4 B.3 C.2 D.1
【分析】因本题所求代数式中含有a、b、c的平方项与二次乘积项与完全平方展开式所含的项基本相同，所以应想办法，如何造型利用公式法分解因式进行化简. 解：原式= 当a=
1?a?b?2??b?c?2??a?c?2? 2?111x+20，b=x+19，c=x+21时，有：a－b=1，b－c=－2，a－c=－1， 202020∴原式=
121221???2????1???1?4?1??3.故应选B. 22222??例7 设a、b、c是三角形的三边长,求证:a?b?c?2bc?0.
【分析】本题是证明一个不等问题,想办法利用三角形三边的关系以及因式分解来证明. 证明:∵a?b?c?2bc?a?(b?c)=(a?b?c)(a?b?c), 又∵a、b、c是三角形的三边长, ∴a?b?c?0,a?b?c， 即(a?b?c)(a?b?c)?0， ∴a?b?c?2bc?0.
【方法指导】本题借助因式分解，将左边的多项式分解成一次因式的积，再根据三角形
的三边的关系进行判断因式的符号.
例8 已知x?x?1?0,求x?2x?3的值.
【研析】本题要充分利用“x?x?1?0”这个条件,经过变式来求值.这里可将2x拆成两项,变为(x?x),再添加(x?x). 解:∵x?x?1?0，
∴x?2x?3?(x?x?x)?(x?x?3)?x(x?x?1)?(x?x?1?4)=4.
32322222222222222223222 【品思感悟】将多项式变形或拆项，整体运用已知条件，体现“整体”与“分解”思想的有机统一. 例9 已知248?1可以被在60到70之间的两个数整除,则它们是 （ ）
A．61、63 B．61、65 C．63、65 D．63、67 【分析】由2
48?1联想到运用平方差公式进行因式分解，从而做出判断.
因
为
248?1=(224?1)(224?1)?(224?1)(212?1)(212?1)=(224?1)(212?1)(26?1)(26?1)
=(224?1)(212?1)(26?1)(23?1)(23?1), 而 (26?1)?65,(23?1)(23?1)=9×7=63,所以选择C.
【品思感悟】利用因式分解判断数的整除性，大大的简化运算量.从而体现公式方便快捷.
例10 如图所示,把R1,R2,R3三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为V,则
V?IR1?IR2?IR3,当R1=34.9,R2=20.8,R3=32.3,I=2.5时,求V的值.
【分析】将因式分解的知识运用到物理学的运算当中,可减少运算量,使运算简化. 解：当R1=34.9,R2=20.8,R3=32.3,I=2.5时,
V?IR1?IR2?IR3=I(R1?R2?R3)=2.5(34.9+20.8+32.3)=220.
【梳理总结】根据物理学的知识，串联线路电压等于各部分电压之和，构造数学模型， 运用因式分解中的提取公因式，使运算得以简化. 例11 （第十届希望杯全国数学邀请赛）计算
.
【分析】仔细观察算式发现：最后两项?2?2可分解因式，提公因式2后得2，再依次和前一项进行类似计算. 解：
=2?2?2?2?2?2?2?2?(223456782345678109109
?29)
=2?2?2?2?2?2?2?2?2(2?1) =2?2?2?2?2?2?2?2?2
＝??=6.【技巧点拨】本题逆向思考，从最高的两项进行因式分解，逐次提取公因式，达到消项的目的.
234567899四．真题精炼
A组 2009-2013北京市中考试题汇编
1.（2009北京,7,5分） 把x3?2x2y?xy2分解因式，结果正确的是（）
22A.x?x?y??x?y? B.xx?2xy?y C.x?x?y? D.x?x?y?
??2222. （2009北京,16,5分） 已知x?5x?14，求?x?1??2x?1???x?1??1的值
23．（2010北京,10,4分）分解因式：m﹣4m= _________ ．
322
4.（2011北京,10,4分）分解因式：a﹣10a+25a= a（a﹣5）．
22
5．（2011北京，15,5分）已知a+2ab+b=0，求代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值．
22
6.（2012北京，9,4分）分解因式：mn+6mn+9m= m（n+3） ．
7．（2012北京，15,5分）已知
，求代数式
的值．
3
B组 2011-2013年北京市各城区一模试题汇编
1．（2013丰台一模，10,4分）分解因式：ab?4b= ．
23(x?1)2x2?2．（2013丰台一模，16,5分）已知：x?2?0,求代数式2的值．
x?1x?123．（2013门头沟一模，10,4分）分解因式：ax2?10ax?25a? ．
24．（2013门头沟一模，15,5分）已知x?8x?15，求(x?2)(x?2)?4x(x?1)?(2x?1)2的值.
5．（2013石景山一模，10,4分）分解因式：x?4x?4x=_______________． 6．（2013石景山一模，16,5分）已知：4x?5x?1?0，
232?2x?1?求代数式
2?x?x?1???x?2??x?2?的值.
7．（2013通州一模，10,4分）分解因式：x3?2x2?x? ．
?y2?x?yg8．（2013通州一模，16,5分）化简求值：?1?2，其中x?3y?0，且y?0. 2??x?y?x9．（2013西城一模，10,4分）分解因式：a?8a?16a= ．
32xx2?y22(x?y)210．（2013西城一模，16,5分）已知=3，求的值． ?2yxyxy?y11．（2013大兴一模，10,4分）分解因式：mx2?8mx?16m = .
12．（2013大兴一模，15,5分）证明：不论x取何实数，多项式?2x?12x?18x的值都不会是正数.
13．（2013房山一模，10,4分）分解因式：x3y?xy? ． 14．（2013房山一模，15，5分） 已知a是关于x的方程x?4?0的解， 求代数式?a?1??a?a?1??a?7的值．
2243215.（2013海淀一模，9,4分）分解因式：a2b?6ab2?9b3? ． 1?x2?1?16.（2013海淀一模，15,5分）先化简，再求值：?1?，其中x?3． ??x?22x?4??32a?2a?a?____________. 17.（2013密云一模，9,4分）分解因式：
11ab?的值18.（2013密云一模，15,5分） 已知：??5?a?b?，求abb(a?b)a(a?b)
3219. （2013平谷一模，10,4分）分解因式：a?4ab?__________ ．
2x?1)20..（2013 平谷一模，14,5分）已知x2?2x?5?0，求(的值．
21.（2013顺义一模，5,4分）下列计算正确的是（）
2(?x2?)(2)x?4(?x)x?12235A．a?a?a B．a?a?a C. (a)?a D. a?a?a
23523653222.（2013顺义一模，9,4分）分解因式：3ab2?12ab?12a= ．
31a2?)?23.（2013顺义一模，16,5分）已知a?3a?2?0，求代数式(2 a?9a?3a?3224.（2013延庆一模，9,4分）分解因式：3x2?27= __________ ．
225.（2013延庆一模,15,4分）已知a?2a?3?0，求代数式2a(a?1)?(a?2)(a?2)的值.
26.（2013昌平一模，10,4分）把多项式x?2x?x分解因式，结果为 ． 27.（2013昌平一模，15，5分）已知2a?a?2，求(2232a?23?)?a2的值. 2a?4a?228.（2013朝阳一模，10,4分）分解因式：2m?18= ． 29.（2013东城一模，10,4分）分解因式：a?16a=________________.
30.（2013东城一模，16,5分）先化简，再求值：2(m?1)?3(2m?1)，其中m是方程
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