二面角的平面角． ????????8分 在Rt?ABC中， ?BAC?30?，AC?4，
?BM?AB?sin30??3．
由
FCEA?GCGA?213，得GC?2．
2?BG?BM?MG?23．
又??GCH~?GBM，
?GCBG?CHBM，则CH?GC?BMBG?2?323?1． ?????????11分
??FCH是等腰直角三角形，?FHC?45?．
平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为22． ??????12分
（法二）（1）同法一，得AM?3，BM?3． ??????3分
如图，以为坐标原点，垂直于AC、AC、AE所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
由已知条件得A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B(3,3,0),F(0,4,1)，
?????????ME?(0,?3,3),BF?(?3,1,1)． ???4分 ????????由ME?BF?(0,?3,3)?(?3,1,1)?0，
z E 得MF?BF， ?EM?BF． ?????6分 ????????（2）由（1）知BE?(?3,?3,3),BF?(?3,1,1)． F O ? M C y A 设平面BEF的法向量为n?(x,y,z)，
x B ?????????????3x?3y?3z?0由n?BE?0,n?BF?0, 得?，
???3x?y?z?0?3,1,2， ???????9分 令x?3得y?1,z?2，?n???????ABCABCAE?(0,0,3)， EA?由已知平面，所以取面的法向量为
设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为?，
??则cos??cos?n,AE??3?0?1?0?2?33?22?22， ???????11分
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平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
22． ??????12分
（文科）（12分）如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC， AC⊥BC， M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。 （Ⅰ）求证：DM∥平面APC； （Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC；
（Ⅲ）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM的体积．
猜题理由：高考立体几何试题注重平行、垂直关系的证明，以突出考查考生对空间线面位置关系的判定定理、性质定理的掌握程度，本题就是以此为依据设计的。 【解析】（Ⅰ）由已知得，MD是ABP的中位线
MD∥AP ……………2分
?MD?面APC,AP?面APC
MD∥面APC ……………4分
（Ⅱ）??PMB为正三角形，D为PB的中点，
MD?PB， AP?PB
?AP?PC,PB?PC?PAP?面PBC ……………6分 ?BC?面PBC AP?BC
又?BC?AC,AC?AP?A?BC?面APC
?BC?面ABC平面ABC⊥平面APC ………………8分
（Ⅲ）∵MD?面PBC， MD是三棱锥M—DBC的高，且MD＝53 又在直角三角形PCB中，由PB＝10，BC＝4，可得PC＝221 ………10分 于是S?BCD?12S?BCP＝221，
13Sh?107 …………………………12分
VD?BCM＝VM?DBC?猜题40、探索性问题
（理科）（12分）如图，在三棱拄ABC?A1B1C1中，AB?侧面BB1C1C， 已知AA1=2,AB?2,BC?1,?BCC1??3
（Ⅰ）求证：C1B?平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点的位置,使得EA?EB1； (Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下,求二面角A?EB1?A1的平面角的正切值.
猜题理由：探索性问题能有效地检测考生的创新能力，是高考十分关注的一种命题方式。对
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立体几何的考查在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行关系、垂直关系的探究。 证明：（Ⅰ）因为AB?侧面BB1C1C，故AB?BC1 在△BC1C中，BC?1,CC1?BB1?2,?BCC1?由余弦定理有 BC1?BC?CC1?2?BC?CC1?cos?BCC1????C1C???????1?C?B2?3
221?4?2?2?cos?3A?3 A1 故有 BC2?B1C2? 而 BC?AB?（Ⅱ）由
?BC B且AB,BC?平面ABC
B C1B?平面AB C??4分
B1EA?EB1,AB?EB1,AB?AE?A,AB,AE?平面ABE
从而B1E?平面AB E 且BE?平面ABE 故
BE?B1E
CEC1 不妨设 CE?x，则C1E?2?x又??B1C1C?23，则BE2?x?x?1
2? 则
B1E2?x?5x?72
在直角三角形BEB1中有x2?x?1?x2?5x?7?4 从而x?1
故为CC1的中点时，EA?EB1 ??8分
????????????? 法二：以为原点BC,BC1,BA为x,y,z轴，设CB(0,0E?,120)x,?B(11),AE?(z 0A ，则
,0,2)A1
( 1 , 由3,0),????????EA?EB1得 EA?E1B?0 即
(121x?1,?32x,12)(x?232,?3x23??3x???2??,0)0
(1x?1)(x?223?2?)x?2?? 0C B B 1
2 化简整理得 x?3x?2?0 x?1 或 x?2 当x?2时与C1重合不满足题意
x E C 1 y 当x?1时为CC1的中点
故为CC1的中点使EA?EB1 ??8分
（Ⅲ）取EB1的中点，A1E的中点，BB1的中点N，AB1的中点M 连DF则DF//A1B1，连DN则DN//BE，连MN则MN//A1B1 连MF则MF//BE，且MNDF为矩形，MD//AE
又?A1B1?EB1,BE?EB1 故?MDF为所求二面角的平面角 在RT?DFM中，DF?MF?12BE?12CE?12BAMA1FNB112A1B1?22(??BCE为正三角形）
CEDC1
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1?tan?MDF?2?2 ??12分
222?????????????????法二：由已知EA?EB1,B1A1?EB1， 所以二面角A?EB1?A1的平面角?的大小为向量?????????B1A1与EA的夹角
?????????因为B1A1?BA?(0,0,2)
?????????EA?B1A1故 cos????????????EA?B1A1????EA?(?2332,?122,2)
?tan??2 ??12分
（文科）（12分）如图，在三棱拄ABC?A1B1C1中，AB?侧面BB1C1C，已知
BC?1,?BCC1??3，BB1?2
（Ⅰ）求证：C1B?平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点的位置,使得
EA?EB1
AA1B猜题理由：探索性问题能有效地检测考生的创新能力，是高考十分关注的一种命题方式。对立体几何的考查在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行关系、垂直关系的探究。 证明：（Ⅰ）因为AB?侧面BB1C1C，故AB?BC1 在?BC1C中，BC?1,CC1?BB1?2,?BCC1?由余弦定理有 BC1?BC?CC1?2?BC?CC1?cos?BCC1????22B1CEC1?3 ????2分
1?4?2?2?cos?3?3 222 BC?BC1?CC1?????????C1B?BC??4分
? 而 BC?AB B且AB,BC?平面ABC
AA1 C1B?平面ABC??6分
（Ⅱ）由
EA?EB1,AB?EB1,AB?AE?A,AB,AE?平面ABE ?平面从而B1EBE?B1EAB E且BE?平面ABECBB1EC1 故
??8分
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不妨设 CE?x，则C1E?2?x，则BE又??B1C1C?2322? 则B1E?1?x?x
2?x?5x?7
2在直角三角形BEB1中有x2?x?1?x2?5x?7?4 从而x?1 故为CC1的中点时，EA?EB1 ??12分 四、概率与统计型解答题
（文科）猜题41、统计与古典概型综合题
（12分）某地为了建立幸福指标体系，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）． ⑴求研究小组的总人数；
⑵若从研究小组的公务员和教师中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人来自公务员的概率．
公务员 教师 自由职业者 相关人员数 抽取人数 32 48 64 4 猜题理由：近几年的概率统计解答题已趋于平稳，主要体现在抽样方法、频率分布直方图、条形图、茎叶图以及古典概型、几何概型等知识的综合考查上，据此命制本题。 【解析】⑴依题意，
644?48y?32x??2分，解得y?3，x?2??4分，研究小组的总
6464?48?32人数为2?3?4?9（人）??6分．（或4??9??6分）
⑵设研究小组中公务员为a1、a2，教师为b1、b2、b3，从中随机选人，不同的选取结果有：a1a2、a1b1、a1b2、a1b3、a2b1、a2b2、a2b3、b1b2、b1b3、b2b3??8分，共10种??9分，其中恰好有1人来自公务员的结果有：a1b1、a1b2、a1b3、a2b1、a2b2、a2b3??10分，共6种??11分，所以恰好有1人来自公务员的概率为
P?610(?35?0.6)??12分．
猜题42、统计与几何概型综合题
（12分）某班主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示（如图）。 (1)求该班学生每天在家学习时间的平均值；
(2)该班主任用分层抽样方法（按学习时间分五层）选出10个学生谈话，求在学习时间为1个小时的学生中选出的人数；
(3)假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率.
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