?x?ty?a,由?2，得y2?4aty?4a2?0，?y1y2??4a2． ??????11分 ?y?4ax则FS?FT?4a?216a42(?4a)?4a?4a?0． ???????13分
22????????因此，FS?FT的值是定值，且定值为0． ?????????14分
(法二)①当AB?x时， A(a,2a)、B(a,?2a)，则lOA:y?2x， lOB:y??2x．
?????y?2x,由? 得点S的坐标为S(?a,?2a)，则FS?(?2a,?2a)．
x??a??????y??2x,由? 得点的坐标为T(?a,2a)，则FT?(?2a,2a)． ?x??a?????????FS?FT??a??a??a?a?． ???????????7分
②当AB不垂直轴时，设直线AB的方程为y?k(x?a)(k?0)，A(2y124a,y1)、
4????????16a2． ????????10分 B(,y2)，同解法一，得FS?FT?4a?y1y24ay2?y?k(x?a),2由?2，得ky2?4ay?4ka2?0，?y1y2??4a．?????11分 ?y?4ax则FS?FT?4a?216a42(?4a)?4a?4a?0． ??????13分
22????????因此，FS?FT的值是定值，且定值为0． ?????????14分 猜题46、圆锥曲线中的最值、范围问题
（12
2分
2）如图，经
已过
知椭
圆圆
G:x?y?2x?2y?0xa22?yb22?1(a?b?0)的右焦点F及上顶点
B．过椭圆外一点M(m,0)(m?a)作倾斜角为
56?的直线l交椭圆于C、D两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．
猜题理由：最值、范围问题所依据的数学思想主要是函数、方程思想，解决这类问题必须构建一个函数关系式或建立不等式，在运动变化中寻求解答，是高考考查函数方程思想的理想问题，历年的高考试题中占有相当大的比例。
22【解析】（1）∵圆G：x?y?2x?2y?0经过点F、B
- 31 -
∴F（2，0），B（0，2），∴c?2，b?∴a?6 故椭圆的方程为
22--------------2分
x2633?y22?1 --------------4分
（2）设直线l的方程为y??(x?m)(m?6)
2?x2y??1??62由?消去y得2x2?2mx?(m2?6)?0 ----------6分
3?y??(x?m)?3?
由△=4m2?8(m2?6)?0，解得?23?m?23. 又m?6，6?m?23 --------------8分
设C(x1,y1)，D(x2,y2)，则x1?x2?m，x1x2?m?62m32，
∴y1y2?[?33(x1?m)]?[?33(x2?m)]?13x1x2?(x1?x2)?m32.
∵FC?(x1?2,y1)，FD?(x2?2,y2)， ∴FC?FD=(x1?2)(x2?2)?y1y2 ?43x1x2?(m?6)3(x1x2)?m32?4=
2m(m?3)3 ------10分
∵点F在圆E内部， ∴FC?FD＜0，即
2m(m?3)3＜0，解得0?m?3ks5u
又6?m?23，∴6?m?3 --------12分
猜题47、圆锥曲线中的探索性问题
（12分）如图，F是椭圆的右焦点，以F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆上的动点，P到两焦点距离之和等于4. （Ⅰ）求椭圆和圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为x?4,PM?l，垂足为M，是否存在点P，使得?FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
猜题理由：从求椭圆和圆的方程出发，最后将问题设计为一个探索性问题，是这个试题的“把关点”。高考非常关注探索性问题的考查，其中，平面解析几何正是理想的命题素材。
【解析】（Ⅰ）由已知可得
- 32 -
2a?4,a?c?a?2,c?1,b2?a2?c2?3 2分
∴椭圆的标准方程为
x24?y23?1，圆的标准方程为
22(x?1)?y?1 4分
（Ⅱ）设P(x,y)，则M(4,y),F(1,0)
x2∵P(x,y)在椭圆上，∴
2224?y232?1?y?3?342234x
2|PF|?(x?1)?y?(x?1)?3?x?214(x?4) 34x22|PM|?|x?4|22,
|FM|?9?y?12?2
∴|PF|?12|PM|,|PF|?|PM|, 6分
14(x?4)?12?2（1）若|PF|?|FM|则
34x，解得x??2或，
2x??2|PF|?|FM|?PM|这与三角形两边之和大于第三边矛盾 ∵|x|?2，∴
∴|PF|?|FM| 8分 （2）若|PM|?|FM|,则(x?4)?12?∵|x|?2 ∴x?47234x，解得x?4或x?47,?37247 10分
∴y??3715 ∴P(15) 11分
综上可得存在两点(,7431574315)，(,?)使得?FPM为等腰三角形. 12分
77六、函数与导数型解答题 猜题48、初等函数的综合问题 （12分）已知函数f(x)?lnx?1x?1
x?1x?1m(x?1)(7?x)（Ⅰ）求函数的定义域，并证明f(x)?lnx?1x?1在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）若x?[2,6]f(x)?ln?ln恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当n?N时，试比较f(2)?f(4)?f(6)?...?f(2n)与2n?2n的大小关系． 猜题理由：指数、对数、二次函数是高中数学中研究最多的初等函数，在高考中的重要性毋庸置疑，特猜此题。
- 33 -
*2
【解析】（Ⅰ）由
x?1x?1?0，解得x??1或x?1，
∴ 函数的定义域为(??,?1)?(1,??) 当x?(??,?1)?(1,??)时，[来
f(?x)?ln?x?1?x?1?lnx?1x?1?ln(x?1x?1)?1??lnx?1x?1??f(x)
∴ f(x)?lnx?1x?1在定义域上是奇函数。 ???4分
x?1x?1m(x?1)(7?x)（Ⅱ）由x?[2,6]时，f(x)?ln?ln恒成立，
∴
x?1x?1?m(x?1)(7?x)?0,?x?[2,6]
∴ 0?m?(x?1)(7?x)在x?[2,6]成立
令g(x)?(x?1)(7?x)??(x?3)2?16，x?[2,6]，由二次函数的性质可知
x?[2,3]时函数单调递增，x?[3,6]时函数单调递减， x?[2,6]时，g(x)min?g(6)?7
∴0?m?7 ???8分 （Ⅲ）f(2)?f(4)?f(6)?????f(2n)=ln31?53?75?????2n?12n?1?ln(2n?1)
证法一：设函数h(x)?lnx?(x?1)(x?1),x?[1,??) 则x?(1,??)时，h?(x)?1?xx?0，即h(x)在(1,??)上递减，
所以h(x)?h(1)?0，故lnx?x?1在x?[1,??)成立，
则当x?2n?1(n?N)时,ln(2n?1)?2n?2n?2n成立. ???12分
x2?2证法二：构造函数h(x)?ln(1?x)?(x?2)(x?0)，h?(x)?1x?1?x?1??x?2xx?12
当x?0时，h?(x)?0，∴h(x)?ln(1?x)?(x??h(x)?h(0)?0
x22)在(0,??)单调递减，
22?当x?2n（n?N）时，ln(1?2n)?(2n?2n)?0 ?ln(1?2n)?2n?2n ?12分
- 34 -
猜题49、导数在研究函数中的应用 （理科）（14分）已知函数f(x)?lnx?（1） 当a?92ax?1(a?R)
时，如果函数g(x)?f(x)?k仅有一个零点，求实数k的取值范围；
（2） 当a?2时，试比较f(x)与1的大小； （3） 求证：ln(n?1)?13?15?17????12n?1(n?N)
*猜题理由：本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知
识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解
决问题的能力和创新意识．此类问题是高考中常见的题型，也是高考命题的热点，一般作为高考压轴题的形式出现，易和不等式、数列、几何等知识进行综合考查。
【解析】当a?92时，f(x)?lnx?92(x?1)，定义域是(0,??)，
f?(x)?1x?92(x?1)2?(2x?1)(x?2)2x(x?1)2， 令f?(x)?0，得x?1212或x?2．?2分
当0?x?12或x?2时，f?(x)?0，当
1?x?2时，f?(x)?0，
12 函数f(x)在(0,)、(2,??)上单调递增，在(,2)上单调递减． ???4分
213?f(x)的极大值是f()?3?ln2，极小值是f(2)??ln2．
22当x??0时，f(x)???； 当x???时，f(x)???， 当g(x)仅有一个零点时，k的取值范围是k?3?ln2或k? （2）当a?2时，f(x)?lnx? 令h(x)?f(x)?1?lnx?1x2(x?1)232?ln2．???5分
2x?12，定义域为(0,??)．
x?12?1，
?h?(x)???x?1x(x?1)2?0，
?h(x)在(0,??)上是增函数． ?????????7分
①当x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1； ②当0?x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1；
③当x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1． ??????????9分
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