（3）（法一）根据（2）的结论，当x?1时，lnx?k?1kk?1k12k?1n2x?1?1，即lnx?nx?1x?1．
令x?，则有ln?， ??lnk?1k?1k??2k?1． ????12分
k?11n?ln(n?1)??k?1ln15k?1k，
12n?1?ln(n?1)?13????． ???????????14分
(法二)当n?1时，ln(n?1)?ln2．
?3ln2?ln8?1，?ln2?13，即n?1时命题成立． ?????????10分
13?15???1设当n?k时，命题成立，即 ln(k?1)?2k?1k?2111k?2??????ln ?n?k?1时，ln(n?1)?ln(k?2)?ln(k?1)?ln． k?1352k?1k?1．
根据（2）的结论，当x?1时，lnx?令x?k?2k?12x?1?1，即lnx?x?1x?1．
2k?31111?则有ln(k?2)?????，即n?k?1时命题也成立．???13分
352k?12k?3，则有lnk?2k?1?1，
因此，由数学归纳法可知不等式成立． ?????????14分 y（法三）如图，根据定积分的定义， 得
?15n?1?117?1???dx??11212n?112x?1?1??n12x?11dx．??11分 ?12x?1?2n1d(2x?1)
n1211111111???????(???)??33572n?1352n?1??1313??1212ln(2x?1)?1[ln(2n?1)?ln3]，
on 1 2 3 4 5 6 ? n-1 n xdx
?12x?11[ln(2n?1)?ln3]． ?????????12分 [ln(2n?1)?ln3]?ln(n?1)?2?3ln36?12[ln(2n?1)?ln(n?2n?1)]，
22又?2?3?3ln3，ln(2n?1)?ln(n?2n?1)，
??1313??1215[ln(2n?1)?ln3]?ln(n?1)． ???12n?1?ln(n?1)． ??????????14分
axx?b2（文科）（14分）已知函数f(x)?
在x?1处取得极值2 .
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（1）求函数f(x)的表达式；
（2）当满足什么条件时，函数f(x)在区间 (m,2m?1)上单调递增？ （3）若P(x0,y0)为 f(x)?axx?b2图象上任意一点，直线 l 与f(x)?axx?b2的图象
切于点，求直线 l 的斜率k的取值范围.
猜题理由：利用导数求解函数的极值、最值、单调性及单调区间是高考中常见的题型，也是
高考命题的热点，此类问题一般作为高考压轴题的形式出现，易和不等式、数
列、几何等知识进行综合考查。
【解析】（1）因为 f(x)?/a(x?b)?ax(2x)(x?b)222，而函数f(x)?axx?b2在x?1处取得极
?a(1?b)?2a?0?f/(1)?0?a?4?值2,所以 ?， 即 ?a, 解得 ? …………3分
?2?b?1?f(1)?2??1?b所以 f(x)?4x1?x/2 即为所求 . …………4分
4(x?1)?8x(x?1)2222（2）由（1）知f(x)?
??4(x?1)(x?1)(1?x)22 …………5分
?1? 正
? 1负
f(x)
/负
f(x)
?m??1?可知，f(x)的单调增区间是[?1,1]，所以，?2m?1?1? ?1?m?0.………8分
?m?2m?1?所以当m?(?1,0]时，函数f(x)在区间 (m,2m?1)上单调递增. …………9分 （3）由条件知，过f(x)的图形上一点的切线l的斜率k为：
4(1?x0)(1?x0)222k?f(x0)?11?x02/?4??1?x0?2(1?x0)222?4[2(1?x0)1222?11?x01422]…………10分
令 t?，则t?(0,1], 此时 ，k?8(t?14122t)?8(t?)?12…………11分
根据二次函数 k?8(t?)?2的图象性质知：
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当 t?14时，tmin??12； 当t?1时，tmax?4. …………13分
12,4] . …………14分
所以，直线l的斜率k的取值范围是 [?猜题50、函数的应用性问题 （理科）（12分） 如图，两个工厂A,B相距2km，点O为AB的 中点，现要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN上的某一点 处建一幢办公楼，其中MA?AB,NB?AB.据测算此办公楼受 工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数是1， P N M B · O A 办公楼受工厂B的“噪音影响度” 与距离BP的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受A,B两厂的“总噪音影响度”是受A,B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm. (Ⅰ)求“总噪音影响度”关于的函数关系，并求出该函数的定义域； (Ⅱ)当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？
猜题理由：“以鲜活的生活实际为背景，命制应用性问题”是高考命题的原则，特猜此题以考查考生运用所学数学知识分析和解决实际问题的能力。 【解析】 (Ⅰ)连接OP，设?AOP??,则
?3???2?3. ? ?1分
在△AOP中，由余弦定理得x2?12?22?2?1?2cos??5?4cos?，??2分 在△BOP中，由余弦定理得BP2?12?22?2?1?2cos(???)?5?4cos?，
???3分
∴BP2?10?x2.则y?∵?3???2?31AP2?4BP2?1x2?410?x2. ????4分
P N M ，则?12?cos??12，∴3?5?4cos??7，
∴3?x?y?1x27. 42?10?x2,3?x?1t?410?t7. ????6分 (3?t?7).
(Ⅱ)令t?x,y?∴y???1t2B · O A ?4(10?t)1032?(t?10)(3t?10)t(10?t)22.
由y??0，得t?当3?t?当
103103，或t??10（舍去）. ????8分
103)上单调递减；
,y??0，函数在(3,?t?7,y??0，函数在(103,7)上单调递增； ????10分
∴当t?
103时，即x?303时，函数有最小值，
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也即当AP为
303（km）时，“总噪音影响度”最小. ????12分
（文科）（12分）如图，有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．
猜题理由：本小题主要考查二次函数的切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数学思想方法，以及将实际问题转化为数学问题的能力.
【解析】解法一：以O为原点，直线AD为轴， 建立如图所示的直角坐标系，依题意
可设抛物线弧OC的方程为y?ax2(0?x?2) ∵点C的坐标为(2,1)， ∴2a?1，a?2D C E
O F
A
B
y D C E O F P x 14
14x(0?x?2). ……4分
2故边缘线OC的方程为y?A B 要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线 弧OC相切，设切点坐标为P(t,∵y??12x，
14t?2214t)(0?t?2)，
2∴直线EF的的方程可表示为y?由此可求得E(2,t?∴|AF|?|?14212t(x?t)，即y?12tx?14t，…………6分
214t)，F(0,?142214t).
14t)?(?1)|??2t?(?1)|?1?t，|BE|?|(t?14t?t?1，…8分
2设梯形ABEF的面积为S(t)，则
S(t)???1212|AB|??|AF|?|BE|??(1?214t)?(?214t?t?1)??212t?t?2
2(t?1)?52?52. ……………………………………………………………10分
52.，
∴当t?1时，S(t)?故S(t)的最大值为2.5. 此时|AF|?0.75,|BE|?1.75.………11分
- 39 -
答：当AF?0.75m,BE?1.75m时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为
2.5m. ………………………………………………………………………12分
2解法二：以为原点，直线AD为轴，建立如图所示的直角 坐标系，依题意可设抛物线弧OC的方程为
y?ax?1(0?x?2)
2∵点C的坐标为(2,2)， ∴22a?1?2，a?14
故边缘线OC的方程 为y?14x?1(0?x?2). ………4分
2要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切，设切点坐标为
P(t,14t?1)(0?t?2)， 12x，
14t?1?14222∵y??∴直线EF的的方程可表示为y?由此可求得E(2,t?∴|AF|?1?14212t(x?t)，即y?12tx?14t?1，…6分
214t?1)，F(0,?1422t?1).
t，|BE|??t?t?1，……………7分
设梯形ABEF的面积为S(t)，则
S(t)???1212|AB|??|AF|?|BE|??(1?214t)?(?214t?t?1)??212t?t?2
2(t?1)?52?52. ……………………………………………………………10分
52.，
∴当t?1时，S(t)?故S(t)的最大值为2.5. 此时|AF|?0.75,|BE|?1.75.………11分
答：当AF?0.75m,BE?1.75m时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为
2.5m. ………………………………………………………………………12分
2
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