又AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF. →
(2)易知DB＝(a,0,0)是平面ADC的一个法向量． 设平面ACB的一个法向量为n＝(x，y，z)． →→
而AB＝(a,0，－a)，BC＝(－a，3a,0)，则
??→
?n·BC＝－ax＋
→
n·AB＝xa－az＝0，
3ay＝0.
令x＝1，得z＝1，y＝33??，∴平面ACB的一个法向量为n＝?1，，1?. 33??
a1
1＋＋13
＝
21. 7
→→∴n·DB＝a.∴cos〈n，DB〉＝
a·21. 7
∴二面角B-AC-D的余弦值为
→3a?→?a3??
(3)平面DEF内的向量DE＝?0，a，?，DF＝?，a，0?.
22???22?设平面DEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则
[KS5UKS5U.KS5U
?
?→a3
?m·DF＝2x＋2ay＝0.
→3a
m·DE＝ay＋z＝0，
22
bc
令y＝3，则z＝－3，x＝－3.
→
∴平面DEF的一个法向量m＝(－3，3，－3)．又DC＝(0，3a,0)， →
→|DC·m|3a21∴DC·m＝3a. ∴点C到平面DEF的距离d＝＝＝a. |m|79＋3＋923. 解 (1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，
[KS5UKS5U]则原点O到该直线的距离d＝
bc
＝， 22
ab＋c
1c322
由d＝c，得a＝2b＝2a－c，解得离心率＝. 2a2(2)法一：由(1)知，椭圆E的方程为x＋4y＝4b.① 依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝10. 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得 (1＋4k)x＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)－4b＝0.
2
2
2
22
2
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k
由x1＋x2＝－4，得－
2k＋1
2
1＋4k
8k
2k＋1
2
1＋4k
，x1x2＝
4
2k＋1－4b
. 2
1＋4k
22
12
＝－4，解得k＝. 从而x1x2＝8－2b.
2
x1＋x2
22
于是|AB|＝
5?1?2
1＋??|x1－x2|＝
2?2?
b－2
22
－4x1x2＝10b－2.
2
由|AB|＝10，得10
2
＝10，解得b＝3.
xy
故椭圆E的方程为＋＝1.
123
法二：由(1)知，椭圆E的方程为x＋4y＝4b.②
依题意，得点A，B关于圆心M(－2,1)对称，且|AB|＝10. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋4y1＝4b，x2＋4y2＝4b，
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0. 易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝
y1－y21
＝. x1－x22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
122
因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x＋4x＋8－2b＝0.
2所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b. 于是|AB|＝10，得10
2
2
5?1?2
1＋??|x1－x2|＝
2?2?
2
x1＋x2
2
－4x1x2＝10
2
2
b－2.由|AB|＝
2
b－2
xy
＝10，解得b＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.
123
高二上学期理科数学期中考试试卷
一：选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、【原创】已知全集U?Z，集合A???3,?1,0,1,2?， B??x|x?2k?1,k?N ?，则A∩B（ ）
A. ?0,1,2? B. {-3,-1,1} C. ??1,0,2? D. ??3,0,2?
2、【原创】集合A={-1,0,1,2}的真子集的个数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
3、【原创】下列函数中，在（-∞，0）内单调递减，并且是偶函数的是（ A．y?x2 B．y?x?1
C．y??lg|x| D．y?2x
4、运行下面程序：当输入168， 72时，输出的结果是（ ）
A. 168 B. 72 C. 36 D. 24
5、1337与382的最大公约数是( ) A. 201 B. 191 C. 382 D. 3
6、下列给出的赋值语句中正确的是（ ）
A．4?M B．M??M C．B?A?3 D．x?y?0
）
7、对于简单随机抽样,下列说法中正确的命题为（ ）
①它要求被抽取样本的总体的个数有限,以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析； ②它是从总体中逐个地进行抽取,以便在抽取实践中进行操作； ③它是一种不放回抽样；
④它是一种等概率抽样,不仅每次从总体中抽取一个个体时,各个个体被抽取的概率相等,而且在整个抽样检查过程中,各个个体被抽取的概率也相等,从而保证了这种方法抽样的公平性．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 8、执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（ ）
A. 1009 B. -1009 C. -1007 D. 1008
9、已知菱形ABCD的边长为4，?ABC?1500，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ） A. ?4 B. 1??4 C. ?8 D. 1??8 10、[原创]某班有男生18人，女生36人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为12的样本，则抽取的女生人数为（ ） （A）8 （B）4 （C）6 （D）2
11、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A．2000个 C．5904个
5
3B．4096个 D．8320个
12、?1?x??2?x?的展开式中x的系数为( ) A. ?40 B. 40 C. ?15 D. 15
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.） 13、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______
14、【原创】}八进制数2017（8）转化为10进制为__________（10）
15、【原创】}将某高二年级的600名学生编号为：01，02，03，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是__________．
16、两位同学约定下午5：30-6：00在图书馆见面，且他们在5：30-6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是__________．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本大题满分10分） 等差数列
的前项和记为，已知的通项公式；
.
（1）求数列
（2）求的最大值. 18．（本小题满分12分）
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次实验，得到的数据如下：
零件的个数x(个) 加工的时间y(小时) 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；