《数学分析》上册教案 第九章 定积分 平顶山学院数学与信息科学学院
第九章 定积分
§9.1 定积分概念
教学目标：理解定积分思想；掌握定积分概念，会用定义计算、证明某些定积分；加深对数学的抽象性特点的认识；体会数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学符号化的意义及数形结合方法；了解近代积分学的发展，激发学习数学的兴趣。
教学内容：问题的提出；定积分的定义（重点）；定积分的定义的一些直接应用。 教学过程： 一、课题引入
1、预备知识：矩形面积公式，常力沿直线做功公式，函数的连续性、极限思想。 2、问题背景：下面通过两个例子来看定积分的概念是如何提炼出来的。 实例1：求曲边梯形的面积
设f?C[a,b]，且f(x)?0。由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b以及x轴所围成的平面图形（如图9-1），称为曲边梯形。下面求曲边梯形的面积S。
分析：在初等几何中，我们只会计算由直线段和圆弧所围成的平面图形的面积，现在计算曲边梯形的面积，由于y?f(x)表示?非负连续函数，因而这是一个一般的几何问题，只有用极限的方法才能得到完满的解决。在初等数学中，圆面积是用一系列边数无限增加的内接或外切正多边形面积的极限来定义，现在用类似的方法，即借助于已知的矩形的面积定义曲边梯形的面积。
具体做法如下（图9-2）：
1°分割。在区间[a，b]内任取n-1个分点，依次为a=χo＜χ1＜??＜χn-1＜χn=b，这些点把[a，b]分割成n个小区间[χi-1,χi]，i=1，2，??n；再用直线χ=χi,i=1,2??
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n-1，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形。记Si为第i个小曲边梯形的面积，则曲边梯形的面积
S??ni?1Si。
2°近似求和。在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点
?i，作以
f??i?为高， [xi?1,xi]为底的小
f(?i)?xi矩形。当分割[a，b]的分点较多又分割的较细时，可用第i个小矩形的面积第i个小曲边梯形的面积
Si近似代替
，即
Si?f(?i)?xi （问为什么？）
于是这n个小矩形面积之和可作为该曲边梯形面积S的近似值，即
S??ni?1Si??ni?1f(?i)?xi（
?xi?xi?xi?1） （1）
?xi3°取极限。我们注意到（1）式右边的和式既依赖于对[a,b]的分割（），又与所选中间
?f(?i)?x?点i（i=1、2、??、n）有关（）。可以看出，将[a，b]逐次分下去，使小区间的长度i小，则不论
?i如何选取，n个小矩形面积之和i?1??nf(?i)?xi越接近于S，而在任何有限过程中，
nn个小矩形面积之和i?1f(?i)?xi总是曲边梯形面积S的近似值，只有在无限过程中，应用极限
方法才能过渡到曲边梯形的面积。这样，当分点无限增加，且对[a，b]无限细分时，若此和式与某一常数无限接近，而且与分点S。
实例2 变力所做的功
设质点受力F的作用沿χ轴由点a移动到b，并设F处处平行χ轴（图9-3）。
xi和中间点
?i的选取无关，则把此常数作为曲边梯形的面积
（i）若F为常力，则力F对质点所做的功为W=F(b-a)。
（ii）若F为变力，它连续依赖于质点所在位置的坐标x，即F?F?x?,x?[a,b]为一连续函数，此时F对质点所做的功W该如何计算？类似求曲边梯形面积的方法，即利用“分割、近似求和、取极限”三个步骤进行。
1°分割。在[a，b]内任取n-1个分点a=χ0＜χ1＜χ2?＜χn-1＜χn=b，把[a，b]分成n个小区间[
xi?1,xi]，i=1、2、??n，则
W??ni?1Wi，
wi为F在[
xi?1,xi]上对质点所做功。
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2°近似求和。当各个小区间的长度都很小时，在小区间上的力F由于变化不大，而近似看作常量F=F（
??[xi?1,xi],i=1、2?n。于是当质点从点χi-1到χi时力F所做的功为， ?i），i，于是
Wi?F(?i)?xiW??ni?1Wi??ni?1F(?i)?xi （2）
当分点→多时，同时各个小区间的长度→小时，（2）的近似程度越精确。
3°取极限。于是当对[a，b]作无限细分时，若（2）式右边的和式与某一常数无限接近，则把此常数作为变力所做的功。
说明：上面两个例子，一个是计算曲边梯形面积的几何问题，另一个是求变力做功的力学问题，它们都是通过“分割，近似求和、取极限”这种思想化为形如i?1?nf(?i)?xi的和式极限问题。在
科学技术中还有很多问题也都归结为求这种特定形式的和式的极限，这就是产生定积分概念的背景，将其一般化，即引出“定积分”的概念。 二、定积分的定义
将上述实例一般化、抽象化，加上必需的符号（尤其对3°取极限一步），可得定积分的定义。由于定义中涉及的量，记号较多，在正式给出定义之前，先介绍两个相关定义：分割（模）；积分和。
定义1、设闭区间[a，b]内有n-1个点，依次为，a=χ0＜χ1＜χ2＜??χn-1＜χn=b，它们把[a，b]分成n个小区间△i=[χi-1,χi] ,i=1、2、??n。这些分点或这些闭子区间构成对[a，b]的一个分割，记为△χi=χi-χi-1,并记
TT??x0,x1,?xn?或??1,?2,??n?。小区间△i的长度为
=1?i?n│△χi│,称为分割T的模。
Tmax注：1°由于△χi≤，i=1、2、??n，因此
T可用来反映[a，b]被分割的细密程度。
?唯一确定????2°分割T与其模即分割T一旦给出，
T的关系：T
??????T不唯一确定。
TT就随之确定，但是具有同一细度的分割T却有无限多个。
定义 2、 设?是定义在[a,b]上的一个函数。对于[a，b]的一个分割T=
???1,?2,??n?，任
f(?i)?xi??ii?1取△i,i=1、2?n，并作和式，则称和式为函数?在[a，b]上的一个积分和，也称Riemann和（因由Riemann提出）。 注：显然积分和既与分割T有关，又与所选取的点集写出定积分的定义。
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n??i?有关，有了上述两个定义，可简洁地
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定义3、 设?是定义在[a，b]上的一个函数，J是一个确定的实数。若对??＞0，总存在某
T??一正数δ,使得对于[a，b]的任何分割T，以及在其上任意选取的点集?i，只要＜δ，则有
?ni?1f(?i)?xi?J＜?，则称函数?在[a,b]上可积或Riemann可识。数J称为?在[a，b]上的定积
分或Riemann积分，
bf(x)dxJ??a记作 （3）
其中?称为被积函数，χ为积分变量，[a,b ]为积分区间，a，b分别称为这个定积分的下限和上限。
以上定义1～定义3 是定积分抽象概念的完整叙述。下面是与定积分概念的有关的几点补充注释。
注1：表达定积分的极限形式：
nbf(x)dxJ?lim?f(?)?x??aiiT?0i?1 （4）
把定积分定义的ε—δ说法和函数极限的ε—δ说法对照，便会发现两者有相似的陈述方式，因此可写作（4）式，然而积分和的极限与函数的极限之间有着极大的区别：在函数极限x?alimf(x)中，对每一个极限变量χ来说，?（χ）的值是唯一确定的；而对于积分和的极限而言，每一个
T并不唯一对应积分和的一个值。这使得积分和极限要比通常的函数极限复杂得多。 注2： 可积性是函数的又一分析性质（连续，可导为以前学过的另外两个分析性质）
据§3的TH9.3知,连续函数是可积的.于是本节开头两个实例都可用定积分记号来表示.
bf(x)dxS??a1)连续函数y=?(χ)≥0在[a,b]上形成的曲边梯形面积为; bF(x)dxW??a2)在连续变力F(χ)作用下，质点从a到b所做的功为。
注3： 定积分的几何意义
由注2中知，对于[a，b]上的连续函数?，当
（i）?（χ）≥0，χ?[a，b]时，定积分（3）的几何意义是：该曲边梯形的面积。
bf(x)dx??b[?f(x)]dxJ??a?a?（ii）?（χ）≤0，χ[a，b]时，是位于χ轴下方的曲边梯
形面积的相反数，定为“负面积”。
（iii）对于一般非定号的?（χ）而言，定积分J的值是曲线y=?（χ）在χ轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和（图9-4）。
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注4： 定积分的物理意义。从物理角度看，定积分由点a移动到b时所作的功。
定积分的几何意义与物理意义实际上给出了定积分的两个简单而重要的应用。同时了解定积分的几何意义，对理解定积分的许多性质及其证明方法大有帮助。
注5： 定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数?和积分区间[a,b]有关，而与积分
bbf(x)dx?f(t)dt????f(?)d????aa变量所有的符号无关，即a，这一点与不定积分不同，因
b?af(x)dxb表示变力f(x)使质点沿x轴
不定积分与积分变量的选取有关，不允许随便改写积分变量。
注6： 分割T的细度
T?0表示分割T越来越细的极限过程，此时分点个数n也越来越
T多，即n???；但反过来，当n???时，并不能保证为n???(除非T是等分分割这种特殊情形）。 三、用定积分定义证明与计算定积分
→0。因此，不能把
T→0随便的改
定积分的定义已经给出了计算定积分的方法，即首先作积分和再取极限，但比较复杂。若已知函数f(x)在[a，b]上可积，由于积分和极限的唯一性，不管[a，b]的什么分割，只要IITII?0，也不管点集等分分割等），在[
??i?如何选取，?i?(xi?1,xi)。这样，可作[a，b]的一个特殊分割T（如
上选取特殊的
xi?1,xi]?i（如取?i为[xi?1,xi]的左端点，右端点，中点等）
，
作出积分和，然后取极限，便得到f在[a,b]上的定积分。
例1、 求在区间[0，1]上，以抛物残y=x2为曲边的曲边三角形的面积（图9-5）。
?1解：由注3知，因y=x2在[0，1]上连续，故所求面积为S=极限,在定积分存在的前提下，允许选择特殊分割:
22??xdx?lim?xi0Ti?1in，为求得此
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