《数学分析》上册教案 第九章 定积分 平顶山学院数学与信息科学学院
??f?x??g?x????0，x??a,b?，根据推论3，有 证： ???R，则函数?2??f?x??g?x???dx?? ?a?其判别式
b22?baf2?x?dx?2??af?x?g?x?dx??ag2?x?dx?0
2bbbb
4??baf?x?g?x?dx?4?f2?x?dx?g2?x?dx?0aa?
12即 ?abf?x?g?x?dx???baf2?x?dx???g?x?dx?
b2a12利用柯西不等式（13），可推出如下闵可夫斯基（Minkowski 1861~1909 德国数学家）不等式
??
事实上
bba??f?x??g?x???dx2????12baf2?x?dx????g?x?dx? （14）
b2a121222fx?gxdx?fxdx?2fxgxdx?gx?dx????????????????????aaaa
b2bbb?
af2?x?dx?2??baf2?x?dx???g?x?dx??
b2a1212??b2gxdx????? ?a从而有不等式（14）成立。
定理9.7（积分第一中值定理）： 若函数不变号，则在
??baf2?x?dx??12?b2??g?x?dx?a??
?122f?x??C?a,b?，函数
g?x?在区间
?a,b?上可积且
?a,b?上至少存在一点?，使得
b ?af?x?g?x?dx?f????g?x?dxab （15）
m?min{f(x)}a?x?b证：首先由性质4，函数乘积f(x)g(x)?R[a,b]。不妨设f(x)?0。记，M?min{f(x)}a?x?b，则
mg(x)?f?x?g?x??Mg?x? 根据性质5，有
x?[a,b]
m?g(x)dx??f?x?g(x)dx?M?g(x)dxaaabbb （16）
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由性质5的推论2，有?bag(x)dx?0b。如果这个积分为0，由不等式（12）推知
?f?x?g(x)dx?0
a此时，对任意的??[a,b]，均有式（11）成立；如果这个积分大于0，则对式（12）两端同除以该积分值以后，得
m??f?x?g(x)dx/?g(x)dx?Maabb
再由闭区间上连续函数的性质，在[a,b]上至少存在一点?， 使
f(?)??f?x?g(x)dx/?g(x)dxaabbb
ba即 ?af?x?g(x)dx?f(?)?g(x)dx
特别，如果g(x)?1，由性质3.7得： 推论4：若函数则在
f?x??C?a,b?，
?a,b?上至少存在一点?，使得
baf?x?dx?f????b?a?? （17） 式（13）通常称为积分中值公式。对此可作如下几何解释：若函数那么如图3.1所示，积分
f?x??C?a,b?，且
f?x??0，
f?x?dx?
ab表示曲线
y?f?x?下面曲线梯形ABCD的面积，而积分中值公式说明，
f???它等于同底但高为的矩形ABEF的面积。
f???称为
f?x?120在
?a,b?上的平均值。
例4：设函数
f?x??C?0,1?f?1??2?xf?x?dx0,1在（）可微，且，求证
???(0,1)，使得f?????f?????0
证：令
F?x??xf?x?120，则
F?x??C?0,1?120，由积分中值公式（13），
1?F???2
???,0[]12，使得
又注意到
2?xf?x?dx?2?F?x?dx?2F???F?x??C??,1?，在(?,1)可导，且
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F????2?xf?x?dx?f?1??1?f?1??F?1?120
由洛尔定理，至少存在一点??(x,1)，使得
F?????f?????f?????0xnlim?dx?0n??01?x例5、 证明。
1
证：设
f?x??1?C[0,1]g?x??xn?C[0,1]g?x?1?x，，且不变号，由第一积分中值定理，
???[0,1]，使得
xn1dx??01?x1??
11?10xndx?111??n?1
xn1lim?dx?lim?0n??01?xn??(1??)(n?1)故
例6、 证明：若函数则?abf?x??C?a,b?，非负，且
?x0??a,b?，使
f?x0??0，
f?x?dx?0
x0??a,b?f?x?x0证：不妨设，由于在点处连续，取
??f?x0?2?0，
???0((x0??,x0??)?(a,b))，当
x?U(x0,?)时，有
f?x0?2
f?x??f?x0????f?x0??f?x??
x?U(x0,?)3f?x0?2即
2
于是由定积分的可加性质（性质4）和单调性质（性质6），有
?
baf(x)dx??x0??af(x)dx??x0??x0??f(x)dx??bx0??f(x)dx?
作业：P219 1-8
?x0??x0??f(x)dx??x0??x0??f(x0)f(x0)dx??2??f(x0)???022
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§5 微积分学基本定理 定积分的计算（续）
教学目标：掌握微积分学基本定理．
教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项．
(1) 基本要求：掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积分法．
(2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项． 教学建议：
(1) 微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论．
(2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这些内容． 教学过程：
一、变限积分与原函数的存在性
设f(x)在[a,b]上可积，则对?x?[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是，由
?(x)??f(t)dt， x?[a,b]
ax定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分。
类似地，可定义变下限的定积分：
?(x)??f(t)dt，x?[a,b]
xb?(x)和?(x)统称为变限积分。
说明：由于 ?f(t)dt???f(t)dt，因此，只要讨论变上限积分即可。
xbbx定理9.9 若f(x)在[a,b]上可积，则?(x)??f(t)dt在[a,b]上连续。
ax证明： 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。
定理9.10（原函数存在定理） 若函数f(x)在[a,b]上连续，则?(x)??f(t)dt在[a,b]上
ax处处可导，且??(x)?
dxf(t)dt?f(x)，x?[a,b]。 ?adx24
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证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。
说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了f(x)的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。
Abel变换： {?i}，{?i}，1?i?m，令则?i?Bi?Bi?1，
Bp???ii?1p，p?1,2,?,m，B0?0，
??????(Biiii?1i?1m?1i?1mmi?Bi?1)???iBi???i?1?ii?1i?0mm?1??(?i??i?1)Bi??mBm??1B0??(?i??i?1)Bi??mBmi?1m?1
它实际上是分部积分公式 ?abu(x)dv(x)?u(x)v(x)a??v(x)du(x)abb
给定分割?：令u(xi)??i，?i?v(xi?1)?v(xi)，Bi?v(xi)之后的一种离散化形式。
定理9.11（积分第二中值定理） 设g(x)?C[a,b]。
（1）f(x)在[a,b]单调下降，f(x)?0，a?x?b，则??1?[a,b],使得 ?abf(x)g(x)dx?f(a)?g(x)dxa?1。
（2） f(x)在[a,b]单调上升，f(x)?0，a?x?b，则??2?[a,b]，使得 ?abf(x)g(x)dx?f(b)?g(x)dx?2b。
（3） f(x)在[a,b]单调，则???[a,b]，使得 ?证：（1） 令
baf(x)g(x)dx?f(a)?g(x)dx?f(b)?g(x)dxa?b?。
M?maxG(x)a?x?bG(x)??g(t)dt?C1[a,b]ax，记
m?minG(x)a?x?b，，给
mk?niff(x)Mk?supf(x)?:a?x?x???x?b[a,b]一个分割xk?1?x?xkxk?1?x?xk01n，记，，f(x)在[a,b]单调下降，所以可积，因而
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