《数学分析》上册教案 第九章 定积分 平顶山学院数学与信息科学学院
若直接应用积分第一中值定理于积分型余项，可得 Rn(x)?1(n?1)f(?)(x??)n(x?x0)， n!其中??x0??(x?x0)，0???1。
而(x??)n(x?x0)?[x?x0??(x?x0)]n(x?x0)?(1??)n(x?x)n?1，故 Rn(x)?1(n?1)f(x0??(x?x0))(1??)n(x?x0)n?1，0???1， n!称为泰勒公式的柯西型余项。
特别地，当x0?0时，柯西型余项变为： R1n(x)?n!f(n?1)(?x)(1??)nxn?1，0???1。
积分余项的 Taylor 公式
引理： g(x)?C[x0,b]， ?x:x0?x?b，有
?x?txg(t)dt?(x?t)mdt?1xg(t)(xm?10???x011??m?1?x01?t1)dt1，?x?t证： x0???xg(t)dt??(x?t)mdt011?
??1x?tm?1?xg(t)?d(x?t)m?10???xdt011??
??1tt?xx m?1?xg(t)dt(x?t)m?1?1(x?t)m?1g011t?x?x(t)dt0m?10
?1xmm?1?x(x?t)?1g(t)dt0。
定理： 设f(x)?Cn?1(x0?h,x0?h)，则
nf(x)?f(k)(x0)
?k?k!(x?xk0)?Rn(x)0，
其中 R?1n!?xxf(n?1)n(x)(t)(x?t)ndt0，x?x0?h。
证： n?1时，
R1(x)?f(x)?f(xx0)0)?f?((x?x
1!0)
m?Z?31
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x
??xf?(t)dt?f?(x0)(x?x00)
??x?f?(t)?f?(xx x00)?dt???tx?xf??(t0??01)dt1???dt ???x?x??txf??(tx01)dt1??d(x?t)??xf??(t)(x?t)dt0??0。
设n?m时成立，即
R(x)???f(xf(m)(x0)x?m?f0)???(x?
?m!0)m??
?1xm!?xf(m?1)(t)(x?t)mdt0。
R?f(m?1)m?1?f(x)??f(x(x0)?
?0)???m?1)!(x?x?1(0)m??
f(m?1)(x0 ?1m!?xxf(m?1)(t)(x?t)mdt?)0(m?1)!(x?x0)m?1
1xm!?xf(m?1)
?(t)(x?t)mdt?1xf(m?1)(xm0m!?x00)(x?t)dt
?1?x?f(m?1)(t)?f(m?1)(x?m m!x0)(x?t)dt0
?t(m?2)? ?1xm!?x0???xf(t01)dt1??(x?t)mdt
?1
(m?1)!?x(m?xf2)(t)(x?t)m?1dt0。
R(x)?f(n?1)(?)1推论： Lagrange余项n(n?1)!(x0?x)n?，?介于x0，
作业: P229 1～7
§9 定积分的计算（续）
x1之间。32
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利用牛顿－莱布尼兹计算定积分的关键是求被积函数的不定积分，而换元积分法和分部积分分法是求不定积分的基本方法，下面我们把这两种方法进一步推广到定积分上去。 一 、定积分的换元积分法
应用换元积分法计算定积分时，变换过程和求不定积分的换元积分法是一样的 。在不定积分时，积分后要换回原来的积分变量。但在定积分利用换元积分法时，相应的改变积分的上、下限。不必再换回到原来的积分变量，可以简化定积分的计算。
9例9.5.1 计算4?1?xxdx
2解：作变量代换x?u,即u，这时dx?2udu。当x从4连续增加到9，u从2连续增加到3，
即当x?4时，u?2; 当x?9时,u?3。因此
t2??dx?2tdt??2(1?t)?dt??????1?t1?t?x41?22?
9x333???1?t?2?2ln1?t???7?2ln2??2
一般定积分的换元积分法叙述如下： 定理5.1 设函数
f?x??C?a,b?，若函数
x???t?在区间
??,??连续可微，且当??t??时，
a???t??b,?????a,?????b，则
???t??????t?dt?f?x?dx???f?ab? (9.5.1)
F?x?是f(x)证：由假设
f?x??C?a,b?，
f?x?必有原函数，不妨设的一个原函数，即
F??x??f?x?,x??a,b?。根据牛顿－莱布尼兹公式，有
?f(x)dx?F?b??F?a?ab （9.5.2）
另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有
??F????t?????F?????????F?????????F?b??F?a?
由式（9.5.2）和式（9.5.3）知
（9.5.3）
33
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b????t??????t?dt?f?x?dx???f?aln2
例9.5.2 计算
?0ex?1dx。
2udu21?u，于是
解：令
ln2x?ln?1?u2?,且x?0,u?0和x?ln2,u?1,dx?1?011?112u1?u2?1du??e?1dx??udu?2du?2du??2u?arctanu?2????????01?u21?u21?u2?2000?0x?2 【
例9.5.3 计算
?2?dxx2?1。 u?2?3?x??2,u?3时，4时，x??2，dx?secu?tanudu
解：令x?secu，且
?2?3??x2?1?sec2u?1?tan2u?tanu??tanu,u??,??34?，
3?4?2于是
?2?dxx?12?2?3?3??2?3?4secu?tanu?lnsecu?tanu?ln??1?2??du???secudu?2????tanu2?33
3?4初学者可能把
??2?3???x2?1??tant?t??,????34??的右端误写为tant，这样算出的结果是
?2?3??ln???0??2,?2??1?2??上变化是。其实只须认真观察就可以避免这个错误，因为被积函数在?正的，所以积分值不可能小于零。
a例9.5.4 计算0?a2?x2dx
u??2时，x?a,
解：令x?asinu,当u?0时，x?0；当
dx?acosudu,u?[0,]2，于是
? 34
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?a?22cos?udu?02?0a?xdx??acosu?acosudu?a0222?
a222a1?cos2udu????2021??u?sin2u??2???20a2??a2???224
有时不定积分计算很复杂，甚至“积不出来”（即不定积分不是初等函数），但用换元积分法可以把其定积分求出，请看下例。
例9.5.5 计算下列定积分
??24ln(1?tanx)dx（?cosx0sinx?cosxdx1）
（2）?0
x??x?0,u??解：（1） 令
2?u,?则
2;x?2,u?0.dx??du,于是
??2cosx02I??0sinx?cosxdx??sinu??du???cosu?sinu?sinudu0cosu?sinu2
?cosx?sinx?从而
2I??20cosx?sinxdx??20dx??2 ?2?coxs故
0sixn?cxdxo??s
4x??（2）令
4?u，则
x?0,u??;x??44,u?0。于是
??4ln?1?tanx?dx??0ln?????0?4??1?tan??4?u??????du?????40ln???1?1?tanu?1?tanu??du??40ln21?tanudu???
?40ln2du??40ln?1?tanu?du
?4?tanx)dx??ln2故
?ln(108
例9.5.6 求证
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