《数学分析》上册教案 第九章 定积分 平顶山学院数学与信息科学学院
在8.1节的定积分定义中，我们假定积分区间诸多不便，现在我们去掉这一限制。
当a?b时，区间
?a,b?的端点a?b，这在实际应用上往往带来
?a,b?表示满足不等式a?x?b，并且沿数轴由a到b的x值的全体构成的?a,b?表示满足不等式a?x?b，并且沿数轴由a到b的x值的全体构成
?a,b?与区间?b,a?作
集合；当a?b时，区间
的集合。如此定义下的区间统称为有向区间，简称为区间。事实上，区间为集合元素是相同的，但方向相反。
设a?b，仿照分如下：
在区间
f?x?在区间
?a,b?上的定积分的定义1.1，可定义f?x?在区间?b,a?上的定积
?b,a?由b到a取任意分法
?:x0?b?x1?x2???xn?a
任取
????k?，?k??xk?1,xk?，k?1,2,?,n，作积分和
S??,????k?1nf??k??xk
若极限
d????0limS?,???存在，称此极限为
f?x?n在区间
k?b,a?上的定积分，记作
k?f?x?dx?bad????0k?1lim?f????x
如果将
f?x?在区间
?b,a?上的积分和与在?a,b?上的积分和相比较，二者之间只相差一个负
f?x??R?a,b?f?x??R?b,a?，则，且
号。于是得到如下性质： 性质1： 若函数
?另外规定函数
f?x?baf?x?dx???baf?x?dxa （1）
在一点处的定积分为?af?x?dx?0
f?a?从几何上看，上述规定是自然的。因为底边缩成一点a，而高为线段，其面积为零。
下面的讨论中，积分区间论。
的曲边梯形，为一直
?a,b?总是假定a?b，至于a?b的情形，读者不难自行推出相应结
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性质2（线性性质）： 若函数
,bk1f1?x??k2f2?x??R?a?，且
f1?x?，
f2?x??R?a,b?，?k1,k2?R，则函数
?kf?x??k2f2?x???dx?k1?af1?x?dx?k2?af2?x?dx （2） ?a?11证： 作函数
k1f1?x??k2f2?x?的积分和
bbb
???kf????kf??????x11k22kk?1nk?k1k?f????x1kk?1knk?k2n2?f????x2kk?1kknk
由假设
f1?x?n，
f2?x??R?a,b?11k22，故
kd????0k?1lim?f????x1n与
d????0k?1lim?f????x存在。于是由极限性
质知
d????0k?1lim???kf????kf??????xk存在，从而
k1f1?x??k2f2?x??
R?a,b?，且
d????0k?1lim???kf????kf?????11k22kn?k1bd????0k?1lim?f????x1knk?k2d????0k?1lim?f????x2knk
?kf?x??k2f2?x???dx?k1?af1?x?dx?k2?af2?x?dx 即 ?a?11 如果式（2）中，令 推论1：若函数
f1?x??f?x?bb，
f2?x??1k1?kk2?0；，，可得
f?x??R?a,b?k?Rkf?x??R?a,b?，，则，且
b ?akf?x?dx?k?f?x?dxab （3）
f?x?性质3（可加性质）： 设I为一个有限闭区间，a,b,c?I，若
在I上可积，则
f?x?在
?a,b?、?a,c?、?c,b?上均可积，且
?abf?x?dx??acf?x?dx??f?x?dxcb （4）
证：利用函数可积充要条件式，可以证明若
c??a,b?f?x?在I的任一子区间上均可积。
，则对
?a,b?的任意分法?，总有
limfxdxd????0S??,????a??b （5）
这时将c始终作为分法?的一个分点，则
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n
kS??,????k?1f??k??xk??a,c??f????x??f????xkk?c,b?kk （6）
这里?a,c??f????xk与?c,b??f????xkk分别表示相应于分法?函数f?x?在
?a,c?与?c,b?上的积分和，
由
f?x??R?a,c?、
f?x??R?c,b?及式（5）和式（6），有
b ?af?x?dxcb??af?x?dx??cf?x?dx
若c在
?a,b?之外，不妨设c?b，则f?x??R?a,c?，由上面的讨论，有
?cc af?x?dx??baf?x?dx??bf?x?dx
bf?x?dxcccb从而 ?a??af?x?dx??bf?x?dx??af?x?dx??cf?x?dx
总之不论a、b、c在区间I的位置如何，总有式（4）成立。 性质4：若函数
f1?x?，
f2?x??R?a,b?，则乘积函
f1?x?f2?x??R?a,b?。
证： 对于区间
?a,b?的任意分法
?:x0?a?x1?x2???xn?b
记
?k?f1?、
?k?f2?和
?k?f1?f2?分别为
f1?x?、
f2?x?和
f1?x??f2?x?在
?xk?1,xk?上的振幅，由函
数可积的必要条件，
?M1、
M2?0，使得
f1?x??M1，
f2?x??M2，
x??a,b?
另一方面，?x?,x????a,b?，有
f1?x??f2?x???f1?x???f2?x??????f1?x???f1?x?????f2?x?????f2?x???f2?x?????f1?x????
f2?x??f1?x???f1?x????f1?x???f2?x???f2?x????
M2f1?x???f1?x????M1f2?x???f2?x???
于是有
?fsupMk?1?f2??x?,x????x2supk?1,xk? x?,x????xk?1,xk??f1?x???f1?x?????M1supx?,x????xfk?1,xk??2?x???f2?x?????
M2?k?f1??M1?k?f2?
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nnn从而 已知
f1?x?d????0k?1lim???fk1?f2??xk?M2??k?f1??xk?M1??k?f2??xkk?1k?1
，
f2?x??R?a,b?nk12，上式右端的两个振幅和趋于
k0?d????0?，所以
d????0k?1lim???f?f??x?0 即f1?x?f2?x??R?a,b?。
f?x?性质5：（单调性质）： 若函数，
g?x??R?a,b?，且
f?x??g?x?，
x??a,b?，则
bb ?af?x?dx??ag?x?dx （7）
由定积分的定义1.1很容易看出性质5的正确性。 推论2：若函数
f?x??R?a,b?，且m?f?x??M，x??a,b?，则
b m?b?a???af?x?dx?M?b?a? （8）
推论3：若函数
f?x??R?a,b?，且f?x??0??0?，x??a,b?，则
b ?af?x?dx?0??0? （9） 性质6：若函数
f?x??R?a,b?，则f?x??R?a,b?，且
b ?baf?x?dx??af?x?dx （10）
证： 分别记函数f?x?与
f?x?在区间上的振幅为
?k?f?与
?k?f?，由于
?k?f??supx?,x????xfk?1,xk???x???f?x?????supx?,x????xk?1,xk??f?x???f?x??????k?f?
nn0?于是
??k?f??xk?k??xkk?1???fk?1?0 ?d????0?
n即
d?lim???0??k?f??xk?0k?1，所以
f?x??R?a,b?。
又注意到，对任意函数f?x?，总有
?f?x??f?x??f?x?
再根据性质5，有
??bf?x?dx??bf?x?dx??baaaf?x?dx
可见式（6）成立。
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120例1、估计积分?e?xdx2。
2f?x??e?x2f??x???2xe?x解： 设，则
?14?1?x??0,??0?2?，故f?x?严格单调减少 ，
故 e于是有
?1??f???f?x??f?0??1?2?
121?114e??2e?xdx?02 2例2、若函数
f?x?在
?0,1?上可积且单调减少，求证：?a??0,1?，有
a?f?x?dx??f?x?dx001a 证： 6，有
?0另一方面
1a
f?x??f?a??a??0,1?，由于函数
f?x?是单调递减的，有，
x??0,a?，于是根据性质
f?a?dx??a01af?x?dx?f?a?f?x?dx?0a 或 （11）
f?x??f?a?1，
x??a,1?，有
?f?x?dx??aa11f?x?dx?f?a?f?a?dx?a 或 1?a （12）
结合式（11）和（12），得
111afxdx?fa?f?x?dx??????a01?aa
或
a?f?x?dx??1?a??f?x?dx?a01a?a0f?x?dx?a?f?x?dx0a0a
或
a??a0f?x?dx??f?x?dx??f?x?dxa1?
再根据定积分的可加性质，有
a?f?x?dx??f?x?dx001a
例3、设函数
f?x?b、
g?x??R?a,b?，求证柯西不等式
?a
f?x?g?x?dx???baf2?x?dx???12bag2?x?dx? （13）
20
12