《数学分析》上册教案 第九章 定积分 平顶山学院数学与信息科学学院
??0xf?sinx?dx???2?0f?sinx?dx （9.5.4）
?x并计算
?xsin01?cosxdx。
证：令x???u，有
??0xf?sinx?dx??0????u?f??sin???u?????du?????f?sinx?dx???00xf?sinx?dx
??故 ??0xf?sinx?dx?2?0f?sinx?dx
由公式（5.4），得
??xsinx??sinx??201?cosxdx?2?01?cos2xdx???2arctancosx0?4
例9.5.7 证明：若函数f?x??R??a,a?，则
（1） 若f??x???f?x?a，则??af?x?dx?0；
f??x??f?x?adx?2?a（2） 若
，则??af?x?0f?x?dx。
证：由9.3节性质3，知
?a0a?af?x?dx???af?x?dx??0f?x?dx （1） 若
f??x???f?x?,令x??u,积分
?0f?x?dx??0af??u???du????af?u?du???a?a00f?x?dx从而根据式（9.5.6），有
?a0a?af?x?dx????af?x?dx??0f?x?dx?0
（2） 若
f??x??f?x?，令x??u，积分
?00??u???du???af?u?du??a?af?x?dx??af00f?x?dx
再根据式（9.5.6），有
?aaaa?af?x?dx??0f?x?dx??0f?x?dx?2?0f?x?dx
5.6）
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（
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例9.5.8 计算下列积分
1?xlndx??a1?x（1）
adx?0?a?1????41?sinx； （2）
4?1???x?1?x1?x1?xf?x?ln?ln??ln??f?x???f?x??ln1??x1?x1?x??1?x，则解： （1） 记，
故函数
f?x?上奇函数，而积分区间是以原点为中心的对称区间，故由例9.5.6，得
?（2）设
f?x??a?aln1?xdx?01?x
11?sinx，由于定义在与原点对称的区间上的函数总可以表示为一个偶函数
与一个奇函数之和，即
f?x??f1?x??11fx?f?x?f?x??f??x???f1?x??f2?x????????????22
这里
11fx?f?xfx?f?x??f??x??????????2?????22为偶函数，为奇函数，由例9.5.6可知，
11?11?????fx?fx?f?x???,????????1??2?1?sinx1?sinx??f2?x??244??为偶函数，??在上的积分为零而
由例9.5.6，得
??dx111111???444???dx??2???????dx???41?sinx??42???21?sinx??1?sinx1?sinx?4?1?sinx?24?0cos2xdx?2tanx??4?20
例9.5.9 证明 若函数 ?a证：由于
a?Tf?x?是以
T0T??0?为周期的可积函数，则
f?x?dx??f?x?dx （9.5.7）
??于是
a?Taf?x?dx??f?x?dx??f?x?dx??a00Ta?TTf?x?dx
对上式的最后一个积分作换元x?u?T，有
a?Taf?x?dx??f?u?T?du??f?u?du???f?x?dx00a0T0Ta0a0aa0
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?a?Taf?x?dx??f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx《数学分析》上册教案 第九章 定积分 平顶山学院数学与信息科学学院
周期函数的这个积分性质的几何意义是明显的，如图5.1所式，在影部分的面积是相等的。
例9.5．10 若函数
f?x??a,a?T?与?0,T?上的两块阴
是以T（?0）为周期的连续函数，求证
1x1Tlimf?u?du??f?u?dux???x?0T0
f?x??0,????x?T,?n?N,使得nT?x??n?1?T，证：可见x????n??。已知函数在
上有界，设x?y?nT，则0?y?T，有
nT?y1x1fudu?limf?u?du??x???x?0x??nT?y?0
lim1n??nT?y
lim???T0?????T2TnT?n?1?T??nT?ynT?f?u?du?
?TnT?y1limn?f?u?du??f?u?du?0nTn??nT?y y1T1fudu?limf?u?du???n????00nT?y T
1Tf?u?du?0 T
12uf2x?udu?arctanx???f?x?2例9.5．11 设函数连续，且0
x已知
f?1??1，求?12f?x?dx
解：令t?2x?u，则
?于是
x0uf?2x?u?du??2x?2x?t?f?t???dt?=2x?x2xx2xf?t?dt??tf?t?dtx2x
2x?2xxf?t?dt??x12arctanxtf?t?dt=2
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对上式两端关于x求导，得
2?2xf?u?du?2x?f?x??12xx?2f?2x????2.2xf?2x??xf?x?=21?x4
2?2x即xf?u?du?x1?x4?xf?x?
令x?1，得
?21f?x?dx?1?12??2?f?1?????34
二、定积分的分部积分法
定理9.5.2 设函数
u?x?,v?x?,u??x?,v??x??C?a,b?,则
?bau?x?v??x?dx?u?x?v?x?ba??bau??x?v?x?dx （9.5.8）证：由于
??u?x?v?x?????u??x?v?x??u?x?v??x?及牛顿-莱布尼兹公式，有 ?b??u??x?v?x??v??x?u?x??ba?dx?u?x?v?x?a
从而，根据定积分的线性性质，有
?bau?x?v??x?dx?u?x?v?x?ba??bau??x?v?x?dx
例9.5．12 计算下列定积分
?111??2xarcsinx?xex01?x2dx
?2??4x1?cos2xdx?3??0
?1?x?2dx0 ?11?21022解：
?xarcsinx1?xdx=
??0arcsinxd1?x2?
11?1?x2arcsinx2?0?201?x211?x2dx3=??26?12?12?1312?
??x? 2??401?cos2xdx=?4x1?02cos2xdx?2?40xdtanx?
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1??4?????4tanxdx??1????ln?40 2??xtanx?0???2?4cosx??0=8?14ln2
?3??1xex11dxx1?xex0?1?x?2??1x?=?0xed1?x?????1?x0?10x?1dxe???=
?e??1ex?1?x?dx??e?1x?e1?ex?e 201?x2?0edx=
202?1
在实际运算中，经常将换元积分法和分部积分法结合起来使用。如下例。例9.5．13 计算下列不定积分
?1??1ex0dx
?2??ln201?e?2xdx
解：（1）令u?x，则
?11exdx??1uu1u2??ue??1eudu?? ?00e2udu?2?0ude??00??
=
2?e?e?1??2
（2）
?ln2x01?e?2dx??ln22x2x0e??e?1?dx?2x??ln2e2x?1de?x????e?xe2x?1ln2??0?ln20e?xe0e2x?1dx????3ln2ex???dx??3??2du令u?ex20e2x?121u2?1????32?ln?u?u2?1?231??2?ln?2?3???2nn例9.5.14 ⑴求证?0sinxdx??20cosxdx?n?N?；
??n⑵ 计算In??20sinxdx??20cosnxdx;
?24⑶计算?0sinxcos2xdx；
14⑷计算?0x1?x2dx。
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