《数学分析》上册教案 第九章 定积分 平顶山学院数学与信息科学学院
k?1??nxkxk?1f(x)?f(xk?1)g(x)dx?supg(x)?(Mk?mk)?xk?0a?x?bk?1n
当??0时。
I??f(x)g(x)dx?lim??abnxk
??0k?1xk?1f(xk?1)g(x)dx
?lim?f(xk?1)[G(xk)?G(xk?1)]??0k?1nn
?lim?[f(xk?1)?f(xk)]G(xk)?f(b)G(b)??0k?1
mf(a)?I??f(x)g(x)dx?Mf(a)ab。
若f(a)?0，则f(x)?0，?可取任意值。
1bm?f(x)g(x)dx?M?af(a)?0f(a)若，，G(x)?C[a,b]，??1?[a,b]，使得 G(?1)?1bb?1f(x)g(x)dxf(x)g(x)dx?f(a)g(x)dx??f(a)?aaa，即。
（2） 类似可证。
（3） 不妨设f(x)单调上升，令F(x)?f(x)?f(a)，单调上升，F(x)?0，由（2）???[a,b]，使得
?F(x)g(x)dx?F(b)??g(x)dx?[f(b)?f(a)]??g(x)dx。
abbb ?abf(x)g(x)dx?f(a)?g(x)dx?f(b)?g(x)dx?f(a)?g(x)dxabbb??
?f(a)?g(x)dx?f(b)?g(x)dxa?b?。
例1、 f(x)在[??,?]单调下降，求证
b2n?f(x)sin2nxdx?0???，
?1?
b2n?1?1???f(x)sin(2n?1)xdx?0。
??证：
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b2n?
??1?f(??)?sin2nxdx?f(?)?sin2nxdx?????????1?1?cos2n?cos2n??1???f(??)?f(?)???2n2n?1?[1?cos2n?][f(??)?f(?)]?0，2?n
b2n?1?
??1?f(??)?sin(2n?1)xdx?f(?)?sin(2n?1)xdx?????????1??1?cos(2n?1)??cos(2n?1)??1???f(??)?f(?)???2n?12n?1?1?[?1?cos(2n?1)?][f(??)?f(?)]?0.(2n?1)?
二 、 定积分的换元积分法和分部积分法
定理9.12 （定积分的换元积分法）若函数f(x)在[a,b]上连续，?(x)在[?,?]上连续可微，且满足
?(?)?a，?(?)?b，a??(t)?b，t?[?,?]，
则有定积分的换元积分公式： ?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt??f(?(t))d?(t)。
ab????证：由假设
f?x??C?a,b?，
f?x?必有原函数，不妨设
F?x?是f(x)的一个原函数，即
F??x??f?x?,x??a,b?。根据牛顿－莱布尼兹公式，有
?f(x)dx?F?b??F?a?ab
另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有
??t????F?????F?????????F?????????F?b??F?a?
由以上两式知
???t??????t?dt?f?x?dx???f?ab?
注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。
例2、计算?1?x2dx。
01解题要领： 令x?sint或x?cost即可。
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?例3、计算?2sintcos2tdt。
0解题要领：令x?cost，逆向应用换元积分公式即可。 例4、计算J??ln(1?x)dx。
01?x21解题要领：先令x?tant，再令u??4?t即可。
定理9.13 （定积分的分部积分法） 若u(x)、v(x)为[a,b]上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式：
?u(x)v?(x)dx?u(x)v(x)??u?(x)v(x)dx，
aaabbb或 ?u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x)。
aaabbb??u?xvx?uxv?xu?x?v?x???????????及牛顿-莱布尼兹公式，有 ??证：由于
?ba??u??x?v?x??v??x?u?x???dx?u?x?v?x?ab
从而，根据定积分的线性性质，有
bb?uxvxdx?uxvx??u??x?v?x?dx?????????aaab
例5、
?I??x21?x2dx01
??2sin2tcos2tdt0
?(x?sint,0?t??2
)11??2sin22tdt??2(1?cos4t)dt80 40
?1sin4t2??(x?)?4016。 8从这个例子，我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别：
1）不定积分换元是作为整体的变量替换，定积分是作为一个特定区间上的变量替换，有时前者行不通而后者却可以进行；
2）不定积分换元后必须换回去，而定积分换元不必，只要把定积分值算出来就行了。
例 6、
1. f(x)?C[?a,a]偶函数，则
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aa0 ??af(x)dx??0f(x)dx???af(x)dx
a0t)dt?2?a
??0f(x)dx??af(?0f(x)dx。
a2. f(x)?C[?a,a]，奇函数 ，则 ??af(x)dx?0。
I???xsinx例 7、
??1?cos2xdx
?xsinx解 ：
I?2?01?cos2xdx
??2?0(??t)sin(??t)?1?cos2(??t)dt(x???t)
?2???sint1?cos2tdx?2??tsint001?cos2tdx，
2I??2???1du11?u2， u?cost。
I??arctgu1?2?1?2 。
??Inn例8、
n??20sinxdx??20cosxdx
?2解：
In???0sinn?1xdcosx
???12
??sinnxcosx20??0cosxdsinn?1x
?n?2 ?(n?1)?20sinxcos2xdx
??2
?(n?1)?2n?0sinxdx?(n?1)?20sinnxdx，
In?n?1nIn?2(n?2)
I0??2， I1?1。
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所以
I2k?(2k?1)!!?(2k)!!I2k?1?(2k)!!2， (2k?1)!!。
例 9 (J.Wallis公式)、
?(2n)!!?1?lim??n??(2n?1)!!???2n?12
2证：
0?x??2时，有sin2n?1x?sin2nx?sin2n?1x， 采用例4中的记号我们可得
I2n?1?I2n?In?1，
?(2n)!!?1??(2n)!!?1(2n)!!(2n?1)!!?(2n?2)!!????(2n?1)!!?2n?12??(2n?1)!!?2n(2n?1)!!(2n)!!2(2n?1)!!， ????
2222???(2n)!!?1??1??(2n)!!??1lim????lim???2n2n?1?n???(2n?1)!!?(2n)(2n?1)n??(2n?1)!!?????????? 所以 1???0。n??2n2
?lim
三、 泰勒公式的积分型余项
设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有n?1阶连续导数，令x?U(x0)，则
?xx0(x?t)nf(n?1)(t)dt?[(x?t)nf(n)(t)?n(x?t)n?1f(n?1)(t)???n!f(t)]xx0
xx0 ??0?f(t)dt?n!f(x)?n![f(x0)?f?(x0)(x?x0)??
f(n)(x0)(x?x)n]?n!Rn(x)。 ?n!1x(n?1)其中Rn(x)即为f(x)的泰勒公式的n阶余项。由此可得Rn(x)??f(t)(x?t)ndt，
n!x0即为泰勒公式的积分型余项。
由于f(n?1)(t)连续，(x?t)n在[x0,x]（或[x,x0]）上保持同号，故若应用推广的第一积分中值定理于积分型余项，可知，???x0??(x?x0)，0???1，使得 Rn(x)?x1(n?1)1f(?)?(x?t)ndt?f(n?1)(?)(x?x0)n?1。
x0n!(n?1)!即为拉格朗日型余项。
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