《数学分析》上册教案 第九章 定积分 平顶山学院数学与信息科学学院
ni?1nS??,????f(?k?1k)?xk?f(?i)?xi??f(?k)?xk?k?1k?i?1?f(?k)?xk?
i?1f(?i)?xi?(?f(?k)?xk?k?1i?1k?i?1?nf(?k)?xk)?
f??i??xi?A
f(?k)?xkA?其中
?f(?k?1k)?xk?k?i?1?n。于是对于任意取定的?k?[xk?1,xk]，
k?1,2,?,i?1,i?1,?,n。因f?x?在[xk?1,xk]上无界，对于任意给定M?0??i?[xi?1,xi]，，使得
f??i??M?A?xk
可见对于
?a,b?的任意分法?，???{?k}，使得
S??,???f??i??xi?A?M?A??xi?A?M?xi
可见积分和
S??,??无界，从而函数
f?x?在
?a,b?上不可积，此与假设相矛盾。
例1、 证明函数
?1?f?x???x0?x?1?0? x?0
在[0，1]上不可积。
?:xk?k,k?0,1,2,?,n??{?k}，其中n；取
证： 将[0，1]区间n等分，即取分法
?1?1?1?k?k?1k??0,????,?k?n4?nnnn?，k?2,3,?,n，此时，相应的积分和 ??，?
S??,????f??k??xk?k?1n
111111?????nnn12n4nn n
n?
1111(????)??n23n (d(?)?0)
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故
d????0limS??,??
不存在，从而
f?x?在
?0,1?上不可积。
注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。
?1,当x为有理数，例2、 证明狄利克雷函数D(x)??在[0，1]上有界但不可积。
0，当x为无理数?证：对于
?0,1?的任意分法
?0,1?的没一个子区间上既有有理数，也有无理数。
?:x0?0?x1?x2???xn?1 根据有理数和无理数在数轴上的稠密性，在
若取??{?k}，且?k是[xk?1,xk]上的有理数，则积分和
S??,????D????x???xkkk?1k?1nnk?1
????若取??{?k}，且k是[xk?1,xk]上的无理数，则积分和
S??,?????k?1nD??k???xk??0??xk?0k?1n
从而
d????0limS??,???1，
d????0limS??,????0，根据定义3知，
D?x?在
?0,1?上不可积。
二、 可积的的充要条件
要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。 设T={?xii?1,2,?,n}为对[a,b]的任一分割。由f(x)在[a,b]上有界知，它在每个?xi上
n存在上、下确界： Mi?supf(x),mi?inff(x),i?1,2,?,n.作和S(T)??Mi?xi，
x??xix??xii?1s(T)??mi?xi，
i?1n分别称为f(x)关于分割T的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给?i??xi，
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i?1,2?,n，显然有s(T)??f(?i)?xi?S(T)。
说明：与积分和相比，达布和只与分割T有关，而与点?i的取法无关。
定理9.3（可积准则） 函数f(x)在[a,b]上可积?对???0，?T，使得S(T)?s(T)??。 设?i?Mi?mi，并称为f(x)在?xi上的振幅，有必要时记为?if。则有
S(T)?s(T)???i?xi。
i?1n定理9.3? 函数f(x)在[a,b]上可积?对???0，?T，使得??i?xi??。
i?1n不等式S(T)?s(T)??或??i?xi??的几何意义：若函数f(x)在[a,b]上可积，则下图中包
i?1n围曲线y?f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。
三、 可积函数类
定理9.4 若函数f(x)为[a,b]上的连续函数，则f(x)在[a,b]上可积。 证：根据在闭区间上连续函数性质，f(x)必在
?x?,x???[a,b]，只要x??x????，有
?a,b?上一致连续，即???0，???0，对于
对于
f(x?)?f(x??)??b?a
?a,b?的任意分法?，只要d(?)??，注意到f(x)?C?xk?1,xk?，???,?????xk?1,xk?，使得
，
Mk?f(?k??)mk?f(?k?)，从而有
?k?Mk?mk?f??k????f??k????b?a k?1,2,?,n ??所以 k?1???xknk??b?an??xk?1nk
即
d????0lim???xkk?1k?0
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由定理9-3?知，
f(x)?R?a,b?。
如果把定理9.4的函数连续性条件稍微放宽一点，还有如下结论：
定理9.5 若f(x)是区间[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f(x)在[a,b]上可积。 证：由假设的振幅
a?x?bf?x?在
?a,b?有界，即?M?0，使
。又已知
f(x)?M,?x?[a,b]，从而
f?x?在
?a,b?上
??sup{f(x)}?inf{f(x)}?2Ma?x?bf?x?在
?a,b?上有有限个间断点，
不妨设有m个
间断点?1,?2,?,?m。对于个小区间
?a,b?的任意分法?: x0?a?x1?x2???xn?1?xn?b，
在其分割成的n中至多有2m个含有间断点，于是将振幅和分成两个部分
[x0,x1],[x1,x2],?,[xn?1xn] k?1???xknk????k?xk?????k?xk
?????k?xk其中??k?xk是相应于分法?含有间断点的那些小区间的振幅和，其项数至多为2m项。
是相应于分法?不含有间断点的那些小区间的振幅和。
???k?xk因为
的项数至多为2m项，故
???0,??1?0,且?1??8mM，当d?????1时，有
???k?xk???2M?xk?2M?2m?1?4mM??8mM2
??因为在
????k?xk对应的那些小区间上
f?x?连续，从而必一致连续。故
???0,??2?0,当d?????2????k?xk?????时，f(x)在这些小区间的振幅都小于2(b?a)。于是
?xk??2(b?a)?2(b?a) 取
????xk??2(b?a)(b?a)??2
??min{?1,?2}，对于?a,b?的任意分法?，只要d(?)??，有
k?1??k?xk????k?xk?????k?xk?d????0n?2??2??
lim即 从而
???xkk?1nk?0
f(x)?R?a,b?。
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下面我们再介绍一类简单的可积函数，即单调函数。
定理9.6 若f(x)是区间[a,b]上的单调函数，则f(x)在[a,b]上可积。
f?a??f?b?f?x??f?a??f?b??C?a,b?证： 不妨设f(x)单调增加。若，则，从而由定
f(x)?R?a,b?f?a??f?b理9.4，。若
?，???0????f(b)?f(a)，对于满足d(?)??的任意分
法?，有
k?1由此即推知
???xknk???[f(xk)?f(xk)]??[f(b)?f(a)]??k?1n
f(x)?R?a,b?。
注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。
0,x?0??1例3、试用两种方法证明函数f(x)??11在区间[0,1]上可积。
,?x?,n?1,2,??n?nn?1证明：[方法1] 利用定理9-6。
[方法2] 利用定理9-3?和定理9-5。
作业：P212T2、T4。
§4 定积分的性质
教学目标：掌握定积分的性质．
教学内容：定积分的基本性质；积分第一中值定理．
(1) 基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理． (2) 较高要求：较难的积分不等式的证明． 教学建议：
(1) 定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用． (2) 较难的积分不等式的证明是本节的难点．对较好学生可布置这方面的习题． 教学过程：
我们在8.1、8.3节的基础上将推导出定积分的以下性质。
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