（1）B={至少有一次及格} 所以B?{两次均不及格}?A1A2
∴P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1) ?1?[1?P(A1)][1?P(A2|A1)] ?1?(1?P)(1?P2)?32P?12P
2（2）P(A1A2)定义P(A1A2)
P(A2) （*）
由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2
由全概率公式，有P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)
?P?P?(1?P)?P2
PP??222
将以上两个结果代入（*）得P(A1|A2)?P22PP?22?2P P?128.[二十五] 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：
到家时间 乘地铁到 家的概率 乘汽车到 家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 迟于5:54 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。
解：设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:45~5:49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S 已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5 由贝叶斯公式有
P(A|C)?P(C|A)P(A)P(C)?0.5?0.450.459???0.6923
110.6513P(C|A)?P(C|B)2229.[二十四] 有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
解：设Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2 Aj表示“第j箱产品” j=1,2，显然A1∪A2=S （1）P(B1)?A1A2=φ
1101182。 ?????0.4（B1= A1B +A2B由全概率公式解）
25023051109（2）P(B2|B1)?P(B1B2)P(B1)?25049?251181723029?0.4857
（先用条件概率定义，再求P (B1B2)时，由全概率公式解） 32.[二十六（2）] 如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。
记Ai表第i个接点接通
记A表从L到R是构成通路的。
∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥
∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5)
+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)
+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) + (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5)
又由于A1，A2， A3， A4，A5互相独立。 故
P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4]
4
L 1 3 5 2 R +[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5
[二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。
记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，
2 1 4 3 A表示系统正常。
∵ A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥
(加法公式)
∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4)
= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4) = P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4
(A1, A2, A3, A4独立)
34.[三十一] 袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？
解：设“出现r次国徽面”=Br “任取一只是正品”=A 由全概率公式，有
1rnr()??1m?n2m?nmP(Br)?P(A)P(Br|A)?P(A)P(Br|A)?m?1r ()P(A)P(Br|A)mm?n2P(A|Br)???rm1rnP(Br)m?n?2()?m?n2m?n （条件概率定义与乘法公式）
35．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。
解：高Hi表示飞机被i人击中，i=1，2，3。B1，B2，B2分别表示甲、乙、丙击中飞机 ∵
H1?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3，三种情况互斥。 H2?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3 三种情况互斥 H3?B2B2B3
又 B1，B2，B2独立。 ∴
P(H1)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)
?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36
P(H2)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)
?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3 + 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41 P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.4×0.5×0.7=0.14
又因：
A=H1A+H2A+H3A
三种情况互斥
故由全概率公式，有
P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458
36.[三十三]设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分别为P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）
∵ B表取得三件好物品。
B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥
由全概率公式，有 ∴
P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)
=0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624
P(A1B)P(B)P(A2B)P(B)P(A3B)P(B)P(A1)P(B|A1)P(B)P(B)P(A3)P(B|A3)P(B)0.8?(0.98)0.8624??0.15?(0.9)0.86240.05?(0.1)0.8624333P(A1|B)??????0.8731?0.1268 ?0.0001
P(A2|B)?P(A3|B)?P(A2)P(B|A2)37.[三十四] 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的
是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）
解：设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。
再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有 P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=α，
P (A收| B发)= P (A收| C发)= P (B收| A发)= P (B收| C发)= P (C收| A发)= P (C收| B发)=
1?α 2又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A发) P (B收| A发) P (C收| A发) P (A收| A发) =α2(1?α2)， 21?α3) 2同样可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =α?(于是由全概率公式，得
3P(D)??P(Bi?12i)P(D|Bi)
?p1a(1?α21?α3)?(P2?P3)α()22由Bayes公式，得 P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) =
P(B1)P(D|B1)P(D)
=
2αP12αP1?(1?α)(P2?P3)
[二十九] 设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。
解：记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。
（1）记C={至少有一只蓝球}
C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5种情况互斥 由概率有限可加性，得