P(C)?P(A1B1)?P(A1B2)?P(A1B3)?P(A2B1)?P(A3B1)独立性P(A1)P(B1)?P(A1)P(B2)?P(A1)P(B3)?P(A2)P(B1)?P(A3)P(B1)
?32333422225??????????79797979799（2）记D={有一只蓝球，一只白球}，而且知D= A1B3+A3B1两种情况互斥
P(D)?P(A1B3?P(A3B1)?P(A1)P(B3)?P(A3)P(B1)?342216????797963P(CD)P(C)?P(D)P(C)?1635
（3）P(D|C)?(注意到CD?D)
[三十] A，B，C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A，B，C的电话的概率分别为为
1,2141，设三人的行动相互独立，求 42,52,51。他们三人常因工作外出，A，B，C三人外出的概率分别5（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了3个电话，求（3）这3个电话打给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。
解：记C1、C2、C3分别表示打给A，B，C的电话 D1、D2、D3分别表示A，B，C外出 注意到C1、C2、C3独立，且P(C1)?P(C2)? P(D1)?1,2P(D2)?P(D3)?1 42,5P(C3)?1 5（1）P（无人接电话）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) =
1111??? 24432（2）记G=“被呼叫人在办公室”，G?C1D1?C2D2?C3D3三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式
P(G)?P(C1D1)?P(C2D2)?P(C3D3)?由于某人外出与??P(C1)P(D1|C1)?P(C2)P(D2|C2)?P(C3)P(D3|C3)?否和来电话无关??故P(D|C)?P(D21231313kkk????????52545420??? ?)??（3）H为“这3个电话打给同一个人”
P(H)?22222211117 ?????????555555555125（4）R为“这3个电话打给不同的人”
R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A，B，C的三个电话，每种情况的概率为
2214 ???555125于是P(R)?6?424 ?125125（5）由于是知道每次打电话都给B，其概率是1，所以每一次打给B电话而B不在的概率为
1，且各次情况相互独立 4于是 P（3个电话都打给B，B都不在的概率）=()3?
141 64
第二章 随机变量及其分布
1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律
解：X可以取值3，4，5，分布律为
P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)?1?C2C532?1101?C33C52 P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??2310?610
P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)?1?C4C53也可列为下表 X： 3， 4，5 P：
136,, 1010103.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。
P(X?0)?C13C15133?22 352P(X?1)?C2?C13C15C2?C13C15321312 ?35P P(X?2)??1 35再列为下表 X： 0， 1， 2 P：
22121 ,,353535O 1 2 x 4.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1－p(0 （2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。） （3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。 解：（1）P (X=k)=q k－1 p k=1,2,?? （2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功} P(Y?r?n)?Cr?n?1qpnnr?1p?Cr?n?1qp,nnrn?0,1,2,?,其中 q=1－p， k?r,r?1,? ?1rk?r或记r+n=k，则 P{Y=k}=Ckr?,1p(1?p) （3）P (X=k) = (0.55) ?k－1 0.45 ? k=1,2… 2k?1P (X取偶数)=?P(X?2k)?k?1?(0.55)k?10.45?11 316.[六] 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有2个设备被使用的概率是多少？ P(X?2)?C5pq225?2?C5?(0.1)?(0.9)?0.0729 223（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？ P(X?3)?C5?(0.1)?(0.9)?C5?(0.1)?(0.9)?C5?(0.1)?0.00856 3324455（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？ P(X?3)?C5(0.9)?C5?0.1?(0.9)?C5?(0.1)?(0.9) ?C5?(0.1)?(0.9)?0.99954 3320514223（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？ P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.59049?0.40951 [五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。 （1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。 （2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。 （3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。 解：（1）X的可能取值为1，2，3，?，n，? P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去} =()n?1?231， n=1，2，?? 3（2）Y的可能取值为1，2，3 P {Y=1}=P {第1次飞了出去}= 1 3 P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去} = 211?? 323 P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去} = (3)P{X?Y}?2!1? 3!33?P{Yk?13?k}P{X?Y|Y?k} ???k}P{X?Y|Y?k}??P{Yk?23?全概率公式并注意到?? ?P{X?Y|Y?1}?0????P{Yk?2?k}P{X?k}注意到X,Y独立即 ? P{X?Y|Y?k}?P{X?k} 111?121?8??????27333?33??3?3同上，P{X?Y}? ??P{Yk?13?k}P{X?Y|Y?k} 11121419 ??????333932781?k?1P{Y?k}P{X?k}?故P{Y?X}?1?P{X?Y}?P{X?Y)?3881 8.[八] 甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求 （1）二人投中次数相等的概率。 记X表甲三次投篮中投中的次数 Y表乙三次投篮中投中的次数 由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。 P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3) = P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) 1212 = (0.4)× (0.3)+ [C3?0.6?(0.4)]?[C3?0.7?(0.3)] 33 ?[C32?(0.6)2?0.4]?[C32?(0.7)2?.3]?(0.6)3 ?(0.7)3?0.321 （2）甲比乙投中次数多的概率。 P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) =P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) 123228=[C3?0.6?(0.4)]?(0.3)?[C3?(0.6)?0.4]?(0.3)? 22123 [C3?(0.6)?0.4]?[C3?0.7?(0.3)]?(0.6) ?(0.3)?(0.6)?[C3?0.7?(0.3)]?(0.6) 22 ?[C3?(0.7)?0.3]?0.243 331239.[十] 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。 （1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？ （2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。） 解：（1）P (一次成功)= 1C84?1 70136973)()?7070100003（2）P (连续试验10次，成功3次)= C10(。此概率太小，按实际 推断原理，就认为他确有区分能力。 [九] 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求 （1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率 （3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率 （4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率