当u>0时
fη(u)????????u0f(u?y)fξ(y)dy13?(u?y)?y(u?y)e?yedy 6u?u?e1205所以η的概率密度为
?u5?ue?fη(u)??120?0?u?0u?0
22.[二十二] 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。
解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：
fT(t)?12π?20?(t?160)2?2022e
1180??f{X?180}?FX(180)?t?1602012?20u2?(t?160)2?2022dt令?u12??1??e?2du??(180?6020
)查表0.8413设N=min{X1，X2，X3，X 4}
P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}
=P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063 27.[二十八] 设随机变量（X，Y）的分布律为 X Y 0 1 2 3 0 0 0.01 0.01 0.01 1 0.01 0.02 0.03 0.02 2 0.03 0.04 0.05 0.04 3 0.05 0.05 0.05 0.06 4 0.07 0.06 0.05 0.06 5 0.09 0.08 0.06 0.05 （1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0}
（2）求V=max (X, Y )的分布律 （3）求U = min (X, Y )的分布律 解：（1）由条件概率公式
P {X=2|Y=2}= = =
同理
P {Y=3|X=0}=
P{X?2,Y?2}P{Y?2}
0.05
0.01?0.03?0.05?0.05?0.05?0.080.05?0.2 0.251 3（2）变量V=max{X, Y }
显然V是一随机变量，其取值为 V：0 1 2 3 4 5
P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0
P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1} =0.01+0.02+0.01=0.04
P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2} +P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1} =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16
P {V=3}=P {X=3，Y=0}+ P {X=3，Y=1}+ P {X=3，Y=2}+ P {X=3，Y=3} +P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2} =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28
P {V=4}=P {X=4，Y=0}+ P {X=4，Y=1}+ P {X=4，Y=2}+ P {X=4，Y=3} =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24
P {V=5}=P {X=5，Y=0}+ ?? + P {X=5，Y=3} =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28 （3）显然U的取值为0，1，2，3
P {U=0}=P {X=0，Y=0}+??+ P {X=0，Y=3}+ P {Y=0，X=1}
+ ?? + P {Y=0，X=5}=0.28
同理 P {U=1}=0.30 P {U=2}=0.25 P {U=3}=0.17 或缩写成表格形式
（2） （3）
V Pk U Pk
0 0
1
2
3
4
5
0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 0 0.28
1 0.30
2 0.25
3 0.17
（4）W=V+U显然W的取值为0，1，??8 P{W=0}=P{V=0 U=0}=0
P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0}
∵ V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能 上式中的P{V=0，U=1}=0，
又 P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0 Y=1}=0.2 故 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1，U=0}=0.2
P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1，U=1} = P{X=2 Y=0}+ P{X=0 Y=2}+P{X=1 Y=1}
=0.03+0.01+0.02=0.06
P{W=3}=P{V+U=3}= P{V=3, U=0}+ P{V=2，U=1} = P{X=3 Y=0}+ P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1} + P{X=1，Y=2} =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 P{W=4}= P{V=4, U=0}+ P{V=3，U=1}+P{V=2，U=2} =P{X=4 Y=0}+ P{X=3，Y=1}+P{X=1，Y=3} + P{X=2，Y=2} =0.19
P{W=5}= P{V+U=5}=P{V=5, U=0}+ P{V=5，U=1}
+P{V=3，U=2} =P{X=5 Y=0}+ P{X=5，Y=1} +P{X=3，Y=2}+ P{X=2，Y=3} =0.24
P{W=6}= P{V+U=6}=P{V=5, U=1}+ P{V=4，U=2}
+P{V=3，U=3} =P{X=5，Y=1}+ P{X=4，Y=2} +P{X=3，Y=3} =0.19
P{W=7}= P{V+U=7}=P{V=5, U=2}+ P{V=4，U=3}
=P{V=5，U=2} +P{X=4，Y=3}=0.6+0.6=0.12
P{W=8}= P{V+U=8}=P{V=5, U=3}+ P{X=5，Y=3}=0.05 或列表为 W P
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
[二十一] 设随机变量（X，Y）的概率密度为
?be?(x?y),?f(x,y)???,?00?x?1,0?y???其它
（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX (x)，fY (y) （3）求函数U=max (X, Y)的分布函数。 解：（1）1?????1????????f(x,y)dydx???00be?(x?y)dydx?b[1?e?1]
∴ b? （2）fX(x)?11?e?1
?????f(x,y)dy
x?0或x?10?x?1?0??x ?????(x?y)edy?,?1?0be1?e??
fY(y)??????f(x,y)dxy?0 y?0
,?0???1?(x?y)?ybedx?e??0?（3）Fu (ω)=P {U ≤ u}=P {max(X,Y)?u)=P {X ≤ u, Y ≤ u} =F (u, u)= u<0, FU (u) = 0
0?u?1,FU(u)?u????uuu??f(x,y)dxdy
??0u0be?(x?y)dxdy?(1?e?u)21?e?u?1
u?1,FU(u)???010be?(x?y)dxdy?1?e
第四章
2.[二] 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E (X)。（设诸产品是否是次品是相互独立的。）
解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ
P=P（调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]1－0.7361=0.2639.
因此X表示一天调整设备的次数时X～B(4, 0.2639). P (X=0)=?0.26390×0.73614
???×
?0??4?查二项分布表
=0.2936.
P (X=1)=?0.26391×0.73613=0.4210, P (X=2)= ?0.26392×0.73612=0.2264. ?1??×?2??×
?????4??4?P (X=3)=?×0.2639×0.7361=0.0541, P (X=4)= ?×0.2639×0.7361=0.0049.从而 ?3???4???????4?3
?4?0
E (X)=np=4×0.2639=1.0556
3.[三] 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E (X)。
∵ 事件 {X=1}={一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒}+{两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒}+{三只球均装入一号盒}（右边三个事件两两互斥）
∴
1?3?3?1?37?1? P(X?1)?3?????3????????4?4?4?4?64?4?223∵事件“X=2”=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒”+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒”+“三只球装入二号盒”
∴
1?2?2?1?19?1? P(X?2)?3?????3????????4?4?44464????1?1?1?1?7?1? P(X?3)?3?????3????????4?4?4?4?64?4?1?1? P(X?4)????464??E(X)?1?37197125?2??3??4?? 64646464163223223同理：
故
5.[五] 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为
1?x,0?x?1500?(1500)2???1f(x)??(x?3000),1500?x?1500 2(1500)?其他?0??求E (X) 解：E(X)??????xf(x)dx